Hela algebra · 2016-12-07
Finn matrisen för avbildningen, som består i att först spegla i planet $x + y = 0$ och sedan rotera $45^\circ$ medurs kring $y$-axeln.
Rodrigues’ rotationsformel:
$$R(\mathbf{v}) = (\cos \theta)\mathbf{v} + (\sin \theta)(\mathbf{k} \times \mathbf{v}) + (1 - \cos \theta)(\mathbf{k} \cdot \mathbf{v})\mathbf{k}.$$
Projektionen av vektorn $u=(x,y,z)$ på planets normal $(1,1,0)$ ges av projektionsformeln: $$u'=\frac{(x,y,z)\cdot(1,1,0)}{|(1,1,0)|^2}(1,1,0)=\frac{x+y}{2}(1,1,0).$$ Spegelbilden av $u$ i planet är $$u-2u'=(x,y,z)-(x+y,x+y,0)=(-y,-x,z),$$ varur speglingsmatrisen avläses till $$S=\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
En godtycklig vektor $(x,y,z)$ roteras enligt Rodrigues rotationsformel till $$R(x,y,z)=\cos(-45^\circ)(x,y,z)+\sin(-45^\circ)((0,1,0)\times(x,y,z))+(1-\cos(-45^\circ))((0,1,0)\cdot(x,y,z))(0,1,0)$$ $$=\frac1{\sqrt2}(x,y,z)-\frac1{\sqrt2}(z,0,-x)+\left(1-\frac1{\sqrt2}\right)y(0,1,0)=\left(\frac{x-z}{\sqrt2},y,\frac{x+z}{\sqrt2}\right),$$ så att rotationsmatrisen är $$R=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&0&-\frac1{\sqrt2}\\0&1&0\\\frac1{\sqrt2}&0&\frac1{\sqrt2}\end{pmatrix}.$$ Den sökta avbildningsmatrisen är produkten av dessa: $$RS=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&0&-\frac1{\sqrt2}\\0&1&0\\\frac1{\sqrt2}&0&\frac1{\sqrt2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}\\-1&0&0\\0&-\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}\end{pmatrix}.$$