Uppgift 6

Vektorerna är linjärt beroende precis då deras determinant försvinner. Det ger ekvationen $$0=\begin{vmatrix}a&b&b\\b&a&b\\b&b&a\end{vmatrix}=a^3+2b^3-3ab^2,$$ med rötterna $a=b$ eller $a=-2b$. Detta kan inses på flera sätt.

En metod är att leka litet med ekvationen: $$0=a^3+2b^3-3ab^2=a^3-ab^2+2b^3-2ab^2$$ $$=a(a+b)(a-b)+2b^2(b-a)=(a-b)(a(a+b)-2b^2)$$ $$=(a-b)(a^2-b^2+ab-b^2)=(a-b)((a+b)(a-b)+b(a-b))$$ $$=(a-b)^2(a+2b).$$ Vi avläser rötterna till $a=b$ och $a=-2b$.

En annan metod är att först observera att $a=b$ löser ekvationen. Då skall enligt Faktorsatsen $a-b$ vara en faktor. Polynomdivision ger $$0=a^3+2b^3-3ab^2=(a-b)(a^2+ab-2b^2).$$ Ånyo är $a=b$ en lösning till $a^2+ab-2b^2=0$, så att $a-b$ även här är en faktor. Ännu en polynomdivision ger då $$0=a^3+2b^3-3ab^2=(a-b)^2(a+2b),$$ och vi avläser rötterna $a=b$ och $a=-2b$. (Ekvationen $a^2+ab-2b^2=0$ kan också lösas som en vanlig andragradsekvation.)

En tredje metod är att beräkna determinanten, inte med Sarrus regel utan genom Gausselimination följd av Laplaceutveckling. Efter radoperationen rad 3 minus rad 2 och utveckling efter rad 3 fås $$0=(a-b)\begin{vmatrix}a&b\\b&b\end{vmatrix}+(a-b)\begin{vmatrix}a&b\\b&a\end{vmatrix}=(a-b)(ab-b^2)+(a-b)(a^2-b^2)$$ $$=(a-b)^2b+(a-b)^2(a+b)=(a-b)^2(a+2b).$$ Vektorerna är sålunda linjärt beroende precis då $a=b$ eller $a=-2b$.