Hela algebra · 2016-12-07

Uppgift 3

Uppgift 3

(a)

Rymdrebellen prinsessan Laila är ute i strid. Hennes rymdskepp ligger i koordinaterna $(-2, 4, 5)$. Rymdimperiets ondskefulle kejsar Pampatine befinner sig ombord på sin stjärnkryssare, som ligger i planet $x + 2y + 3z = 6$. Bestäm den punkt i stjärnkryssarens plan, som ligger närmast prinsessan Laila.

(b)

Prinsessan Laila avfyrar en projektil längs linjen

$$(x, y, z) = (-2, 4, 5) + t(2, -1, -1).$$

Avgör, huruvida hon trävar stjärnkryssaren, som har formen av en triangel, bestämd av ekvationerna

$$x + 2y + 3z = 6, \qquad x, y \ge -1, \qquad x + 7y \le 1.$$

Visa lösningDölj lösning

(a) Tag punkten $P=(6,0,0)$ i planet och låt $L=(-2,4,5)$ vara Lailas koordinater. Projektionen av vektorn $\overrightarrow{LP}=(8,-4,-5)$ på planets normalvektor $(1,2,3)$ ges av projektionsformeln: $$\operatorname{proj}_{(1,2,3)}(8,-4,-5)=\frac{(8,-4,-5)\cdot(1,2,3)}{|(1,2,3)|^2}(1,2,3)=-\frac{15}{14}(1,2,3).$$ Närmaste punkten i planet är då $$(-2,4,5)-\frac{15}{14}(1,2,3)=\frac1{14}(-43,26,25).$$

(b) Vi finner först i vilken punkt projektilen träffar stjärnkryssarens plan: $$6=(-2+2t)+2(4-t)+3(5-t)=21-3t\Longleftrightarrow t=5.$$ Projektilen passerar då planet $x+2y+3z=6$ vid tiden $t=5$ i punkten $(x_0,y_0,z_0)=(8,-1,0)$. Det är klart att denna punkt uppfyller olikheterna som definierar stjärnkryssaren, ty $x_0,y_0\ge-1$ och $x_0+7y_0=1$. Prinsessan Laila kommer alltså att träffa stjärnkryssaren, precis i hörnet.