Hela algebra · 2016-12-07
Betrakta de tre mängderna
$$A = \{1, 2, 3\}, \qquad B = \{3, 4, 5\} \qquad \text{och} \qquad C = \{1, 3, 5\}.$$
Rita ett Venn-diagram för mängderna, där talen $1, \dots, 5, 6$ är korrekt utplacerade.
Ange elementen i mängderna
$$A \cup (B \cap C) \qquad \text{och} \qquad (B \cup C) \setminus A.$$
(samma mängder som ovan).
Ange alla reella fjärdegradspolynom, som har nollställena $1$ och $i$.
(a) —
(b) Vi har $B\cap C=\{3,5\}$ och $B\cup C=\{1,3,4,5\}$ och därför $$A\cup(B\cap C)=\{1,2,3,5\}\qquad\text{och}\qquad(B\cup C)\setminus A=\{4,5\}.$$
(c) Polynomet har nollställena $1$ och $i$, och måste även ha nollstället $-i$ (Konjugerade rotsatsen). Låt $b$ beteckna det fjärde nollstället. Detta måste vara reellt, eftersom dess konjugat annars också vore ett nollställe. Enligt Faktorsatsen är polynomet på formen $$p(x)=a(x-1)(x-b)(x-i)(x+i)=a(x-1)(x-b)(x^2+1).$$ Det är tydligt att $a e0$ måste vara reellt för att $p(x)$ skall få reella koefficienter. Omvänt är det uppenbart att ett fjärdegradspolynom på ovanstående form uppfyller de givna villkoren, då $a e0$ och $b$ är reella.