Hela algebra · 2016-12-07

Uppgift 4

I en skål ligger $2016$ karameller. Två av dem är identiska (jordgubbspolkagris med banansmak), men övriga representerar $2014$ olika smaker. Elsa vill plocka sig en grabbnäve av $116$ karameller att mumsa på (Elsa har stora händer).

(a)

På hur många sätt kan hon välja sina karameller, om de skall ha olika smaker (ordningen är oväsentlig)?

(b)

Hur många sätt finns det, om karamellerna ej behöver ha olika smaker?

(c)

Hur många åttabokstaviga “ord” kan bildas genom omkastning av bokstäverna KARAMELL?

Svaren skall förenklas så långt möjligt, men får dock innehålla outräknade fakulteter, om så bedöms lämpligt.

Visa lösningDölj lösning

(a) Problemet innebär valet av $116$ karameller av $2015$ möjliga (dubbletten av jordgubbspolkagrisen bortses ifrån), vilket kan göras på $$\binom{2015}{116}=\frac{2015!}{116!1899!}$$ sätt.

(b) Svaret i (a) räknar urvalen innehållande högst en jordgubbspolkagris. Till detta adderar vi de urval där båda polkagrisarna väljes. Då skall $114$ karameller av de övriga $2014$ väljas, vilket ger svaret $$\binom{2015}{116}+\binom{2014}{114}=\frac{2015!}{116!1899!}+\frac{2014!}{114!1900!}.$$