Hela algebra · 2017-01-13
Polynomet
$$p(x) = x^{5} + 3x^{4} + 5x^{3} + 7x^{2} + 6x + 2$$
har ett rationellt nollställe. Sök detta och förklara, varför det inte finns fler. Finn också multipliciteten för detta nollställe.
Sök de reella $x$, för vilka
$$\lvert x\rvert^{2} + 2017 = \lvert x^{2} + 2017\rvert.$$
(a) Enligt Rationella rotsatsen skall ett rationellt nollställe $a/b$ (slutförkortat) uppfylla $b\mid 1$ och $a\mid 2$. Enda möjligheterna är $a/b=\pm1,\pm2$. Prövning av $1$ och $\pm2$ visar, att dessa inte är nollställen, medan
$$p(-1)=(-1)^5+3(-1)^4+5(-1)^3+7(-1)^2+6(-1)+2=0.$$
Alltså är $-1$ det enda rationella nollstället. Enligt Faktorsatsen skall nu $x+1$ vara en faktor i polynomet. Tre polynomdivisioner ger
$$ \begin{aligned} p(x)&=(x+1)(x^4+2x^3+3x^2+4x+2)\\ &=(x+1)^2(x^3+x^2+2x+2)\\ &=(x+1)^3(x^2+2). \end{aligned} $$
Tydligen är inte $x+1$ längre en faktor i $x^2+2$, så att $-1$ är ett trippelt nollställe till $p(x)$. Från faktoriseringen ser vi också direkt, att nollställena är $-1$ och $\pm\sqrt{2}i$, vilket återigen etablerar $-1$ som det enda rationella nollstället.
(b) Det gäller alltid att $|x|^2=(\pm x)^2=x^2$. Vidare är alltid $x^2+2017>0$, så att $|x^2+2017|=x^2+2017$. Följaktligen gäller för alla $x$ likheten
$$|x|^2+2017=x^2+2017=|x^2+2017|.$$