Tenta 2017-01-13

(a) Övergång till polär form ger $-1+\sqrt{3}i=2e^{2\pi i/3}$, varav

$$ \begin{aligned} (-1+\sqrt{3}i)^{2017}&=\left(2e^{2\pi i/3}\right)^{2017}\\ &=2^{2017}e^{672\cdot 2\pi i+2\pi i/3}\\ &=2^{2017}e^{2\pi i/3}=2^{2017}\cdot\frac12(-1+\sqrt{3}i)\\ &=2^{2016}(-1+\sqrt{3}i). \end{aligned} $$

(b) Sanningstabellen är följande.

| $P$ | $Q$ | $\neg P$ | $\neg P\lor Q$ | $P\Rightarrow Q$ |
|---|---|---|---|---|
| S | S | F | S | S |
| S | F | F | F | F |
| F | S | S | S | S |
| F | F | S | S | S |

Tabell 1: Sanningstabell.

(a) Enligt Rationella rotsatsen skall ett rationellt nollställe $a/b$ (slutförkortat) uppfylla $b\mid 1$ och $a\mid 2$. Enda möjligheterna är $a/b=\pm1,\pm2$. Prövning av $1$ och $\pm2$ visar, att dessa inte är nollställen, medan

$$p(-1)=(-1)^5+3(-1)^4+5(-1)^3+7(-1)^2+6(-1)+2=0.$$

Alltså är $-1$ det enda rationella nollstället. Enligt Faktorsatsen skall nu $x+1$ vara en faktor i polynomet. Tre polynomdivisioner ger

$$ \begin{aligned} p(x)&=(x+1)(x^4+2x^3+3x^2+4x+2)\\ &=(x+1)^2(x^3+x^2+2x+2)\\ &=(x+1)^3(x^2+2). \end{aligned} $$

Tydligen är inte $x+1$ längre en faktor i $x^2+2$, så att $-1$ är ett trippelt nollställe till $p(x)$. Från faktoriseringen ser vi också direkt, att nollställena är $-1$ och $\pm\sqrt{2}i$, vilket återigen etablerar $-1$ som det enda rationella nollstället.

(b) Det gäller alltid att $|x|^2=(\pm x)^2=x^2$. Vidare är alltid $x^2+2017>0$, så att $|x^2+2017|=x^2+2017$. Följaktligen gäller för alla $x$ likheten

$$|x|^2+2017=x^2+2017=|x^2+2017|.$$

(a) Punkterna rakt ovanför och under brunnen beskrivs av linjen

$$(x,y,z)=(2,3,3)+k(-1,1,1).$$

Avståndet till brunnen i $(2,3,3)$ skall vara precis $\sqrt{12}$, varav

$$\sqrt{12}=|k(-1,1,1)|=|k|\sqrt3\quad\Longleftrightarrow\quad |k|=2.$$

Prövning visar att den sökta punkten är

$$P=(2,3,3)+2(-1,1,1)=(0,5,5)$$

(eftersom den uppfyller villkoret $-x+y+z>4$).

(b) Vektorn mellan Baba Butts palats $B=(-6,-1,-1)$ och $P=(0,5,5)$ är $\overrightarrow{BP}=(6,6,6)$. En riktningsvektor för linjen är då $(1,1,1)$. Linjens ekvation är till exempel

$$(x,y,z)=(-6,-1,-1)+t(1,1,1),\qquad t\in\mathbb R.$$

(c) Vinkeln $\theta$ mellan linjens riktningsvektor $(1,1,1)$ och Tentooines normalvektor $(-1,1,1)$ ges av

$$\cos\theta=\frac{(1,1,1)\cdot(-1,1,1)}{|(1,1,1)|\,|(-1,1,1)|}=\frac{1}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac13.$$

Vinkeln är $\theta=\arccos(1/3)$, en spetsig vinkel. Den sökta spetsiga vinkeln mellan linjen och planet är då $90^\circ-\arccos(1/3)$.

(a) Basbytesmatrisen är

$$Q=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt3}&\frac1{\sqrt6}&\frac1{\sqrt2}\\[2pt]\frac1{\sqrt3}&\frac1{\sqrt6}&-\frac1{\sqrt2}\\[2pt]\frac1{\sqrt3}&-\frac2{\sqrt6}&0\end{pmatrix}.$$

Eftersom $\det Q=-1\ne0$, är detta en giltig basbytesmatris och kolonnerna $e'_1,e'_2,e'_3$ ger en ny bas (Linjära algebrans huvudsats).

(b) Vi verifierar att $Q^{\mathsf T}Q=E$, vilket visar att basen är ortonormerad.

(c) Basen är vänsterorienterad, ty $\det Q=-1<0$.

(d) Den nya avbildningsmatrisen är

$$A'=Q^{-1}AQ=Q^{\mathsf T}AQ=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}.$$

(e) Avbildningen töjer faktorn $2$ längs $e'_3$ (och lämnar riktningarna $e'_1,e'_2$ oförändrade).

(a) En normalvektor till planet är

$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-a,b,0)\times(-a,0,c)=(bc,ac,ab),$$

och arean av triangeln uppspänd av $\overrightarrow{AB}$ och $\overrightarrow{AC}$ är

$$\frac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\frac12\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}.$$

(b) Från normalvektorn fås planets ekvation på formen $bcx+acy+abz=k$. Punkten $A=(a,0,0)$ tillhör planet, vilket bestämmer konstanten $k=abc$. Planets ekvation är alltså

$$bcx+acy+abz=abc.$$

(a) Utskriven blir identiteten

$$0^2-1^2+2^2-\cdots+(-1)^n n^2=(-1)^n\frac{n(n+1)}2.$$

För $n=4$ stämmer den, ty

$$0^2-1^2+2^2-3^2+4^2=10=(-1)^4\frac{4(4+1)}2.$$

(b) Identiteten stämmer för $n=0$, ty

$$0^2=0=(-1)^0\frac{0(0+1)}2.$$

Antag formeln stämma för $n-1$, det vill säga

$$0^2-1^2+2^2-\cdots+(-1)^{n-1}(n-1)^2=(-1)^{n-1}\frac{n(n-1)}2.$$

Då gäller formeln även för $n$, ty

$$\begin{aligned} &0^2-1^2+2^2-\cdots+(-1)^{n-1}(n-1)^2+(-1)^n n^2\\ &=(-1)^{n-1}\frac{n(n-1)}2+(-1)^n n^2\\ &=(-1)^n\left(-\frac{n(n-1)}2+n^2\right)\\ &=(-1)^n\left(-\frac{n^2}2+\frac n2+n^2\right)\\ &=(-1)^n\frac{n^2+n}2=(-1)^n\frac{n(n+1)}2. \end{aligned}$$

Enligt Induktionsprincipen gäller formeln för alla naturliga tal $n$.