Hela algebra · 2017-01-13
Låt $a, b, c \ne 0$, och betrakta de tre punkterna
$$A = (a, 0, 0), \qquad B = (0, b, 0) \qquad \text{och} \qquad C = (0, 0, c).$$
Sök arean av triangeln med hörn i dessa tre punkter.
Bestäm ekvationen för planet genom de tre punkterna.
(a) En normalvektor till planet är
$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-a,b,0)\times(-a,0,c)=(bc,ac,ab),$$
och arean av triangeln uppspänd av $\overrightarrow{AB}$ och $\overrightarrow{AC}$ är
$$\frac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|=\frac12\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}.$$
(b) Från normalvektorn fås planets ekvation på formen $bcx+acy+abz=k$. Punkten $A=(a,0,0)$ tillhör planet, vilket bestämmer konstanten $k=abc$. Planets ekvation är alltså
$$bcx+acy+abz=abc.$$