Uppgift 6
Betrakta identiteten
$$\sum_{p=0}^{n} (-1)^{p}p^{2} = (-1)^{n}\frac{1}{2}n(n + 1).$$
(a)
Verifiera, genom uträkning, att identiteten stämmer för $n = 4$.
(b)
Visa, med induktion, att den stämmer för varje naturligt tal $n$.
Hela algebra · 2017-01-13
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
(a) Utskriven blir identiteten
$$0^2-1^2+2^2-\cdots+(-1)^n n^2=(-1)^n\frac{n(n+1)}2.$$
För $n=4$ stämmer den, ty
$$0^2-1^2+2^2-3^2+4^2=10=(-1)^4\frac{4(4+1)}2.$$
(b) Identiteten stämmer för $n=0$, ty
$$0^2=0=(-1)^0\frac{0(0+1)}2.$$
Antag formeln stämma för $n-1$, det vill säga
$$0^2-1^2+2^2-\cdots+(-1)^{n-1}(n-1)^2=(-1)^{n-1}\frac{n(n-1)}2.$$
Då gäller formeln även för $n$, ty
$$\begin{aligned} &0^2-1^2+2^2-\cdots+(-1)^{n-1}(n-1)^2+(-1)^n n^2\\ &=(-1)^{n-1}\frac{n(n-1)}2+(-1)^n n^2\\ &=(-1)^n\left(-\frac{n(n-1)}2+n^2\right)\\ &=(-1)^n\left(-\frac{n^2}2+\frac n2+n^2\right)\\ &=(-1)^n\frac{n^2+n}2=(-1)^n\frac{n(n+1)}2. \end{aligned}$$
Enligt Induktionsprincipen gäller formeln för alla naturliga tal $n$.