Hela algebra · 2017-01-13

Uppgift 3

Uppgift 3

Slemklumpen Baba Butt har kidnappat rymdrebellen Hans Ensamvarg på grund av obetalda spelskulder. Som straff skall han kastas i den bottenlösa brunnen ute i öknen på planeten Tentooine, där ett ohyggligt odjur med en massa tentakler dväljes.

Planeten Tentooines yta beskrivs av planet $-x + y + z = 4$. Punkterna med $-x + y + z < 4$ är i underjorden; punkterna med $-x + y + z > 4$ är ovan jord. Den bottenlösa brunnens mynning befinner sig i punkten $(2, 3, 3)$.

(a)

Baba Butt tänker dumpa Hans Ensamvarg i brunnen från en punkt, som ligger exakt avståndet $\sqrt{12}$ ovanför brunnen (räknat ortogonalt mot planetens yta). Vilken punkt är detta?

(b)

Baba Butt flyger rakt till denna punkt från sitt palats i $(-6, -1, -1)$. Ange en ekvation för den linje, Baba Butt måste färdas längs.

(c)

Beräkna den spetsiga vinkeln mellan linjen och Tentooines yta.

Visa lösningDölj lösning

(a) Punkterna rakt ovanför och under brunnen beskrivs av linjen

$$(x,y,z)=(2,3,3)+k(-1,1,1).$$

Avståndet till brunnen i $(2,3,3)$ skall vara precis $\sqrt{12}$, varav

$$\sqrt{12}=|k(-1,1,1)|=|k|\sqrt3\quad\Longleftrightarrow\quad |k|=2.$$

Prövning visar att den sökta punkten är

$$P=(2,3,3)+2(-1,1,1)=(0,5,5)$$

(eftersom den uppfyller villkoret $-x+y+z>4$).

(b) Vektorn mellan Baba Butts palats $B=(-6,-1,-1)$ och $P=(0,5,5)$ är $\overrightarrow{BP}=(6,6,6)$. En riktningsvektor för linjen är då $(1,1,1)$. Linjens ekvation är till exempel

$$(x,y,z)=(-6,-1,-1)+t(1,1,1),\qquad t\in\mathbb R.$$

$$\cos\theta=\frac{(1,1,1)\cdot(-1,1,1)}{|(1,1,1)|\,|(-1,1,1)|}=\frac{1}{\sqrt3\cdot\sqrt3}=\frac13.$$

Vinkeln är $\theta=\arccos(1/3)$, en spetsig vinkel. Den sökta spetsiga vinkeln mellan linjen och planet är då $90^\circ-\arccos(1/3)$.