Hela algebra · 2017-01-13

Uppgift 4

Hela tentan

Uppgift 4

(a)

Visa, att vektorerna

$$\mathbf{e}'_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$$

$$\mathbf{e}'_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, 1, -2)$$

$$\mathbf{e}'_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1, 0)$$

beskriver en ny bas i rummet.

(b)

Avgör, om denna nya bas är ortonormerad.

(c)

Avgör, huruvida den är höger- eller vänsterorienterad (positivt eller negativt orienterad).

(d)

Avbildningen $T : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}$ har i standardbasen matrisen

$$A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}3 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}.$$

Finn avbildningsmatrisen i basen $(\mathbf{e}'_1, \mathbf{e}'_2, \mathbf{e}'_3)$.

(e)

Tolka avbildningen geometriskt.

Visa lösningDölj lösning

(a) Basbytesmatrisen är

$$Q=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt3}&\frac1{\sqrt6}&\frac1{\sqrt2}\\[2pt]\frac1{\sqrt3}&\frac1{\sqrt6}&-\frac1{\sqrt2}\\[2pt]\frac1{\sqrt3}&-\frac2{\sqrt6}&0\end{pmatrix}.$$

Eftersom $\det Q=-1\ne0$, är detta en giltig basbytesmatris och kolonnerna $e'_1,e'_2,e'_3$ ger en ny bas (Linjära algebrans huvudsats).

(b) Vi verifierar att $Q^{\mathsf T}Q=E$, vilket visar att basen är ortonormerad.

(d) Den nya avbildningsmatrisen är

$$A'=Q^{-1}AQ=Q^{\mathsf T}AQ=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}.$$

(e) Avbildningen töjer faktorn $2$ längs $e'_3$ (och lämnar riktningarna $e'_1,e'_2$ oförändrade).