Hela algebra · 2017-06-09
Visa, att de tre vektorerna $(2, 1, 1)$, $(1, 2, 1)$ och $(1, 1, 2)$ beskriver en ny bas i rummet.
Avgör, huruvida basen är ortonormerad.
Bestäm koordinaterna i denna bas för den vektor, som har koordinaterna $(1, 1, 1)$ i standardbasen.
(a) Basbytesmatrisen är
$$Q=\begin{pmatrix}2&1&1\\\\1&2&1\\\\1&1&2\end{pmatrix},$$
vars determinant är $4$, alltså nollskild. Enligt Linjära algebrans huvudsats utgör de därför en bas i rummet.
(b) Basbytesmatrisen är ej ortogonal, ty $Q^{\\mathsf T}Q\ne E$. Basen är därför ej ortonormerad. (Man ser även lätt, att basvektorerna varken är ortogonala mot varandra eller har längden $1$.)
(c) Inversen till basbytesmatrisen är
$$Q^{-1}=\frac14\begin{pmatrix}3&-1&-1\\\\-1&3&-1\\\\-1&-1&3\end{pmatrix}.$$
Av koordinatbytesformeln $X=QX'$ fås koordinaterna för vektorn i den nya basen genom
$$X'=Q^{-1}X
=\frac14\begin{pmatrix}3&-1&-1\\\\-1&3&-1\\\\-1&-1&3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1\\\\1\\\\1\end{pmatrix}
=\frac14\begin{pmatrix}1\\\\1\\\\1\end{pmatrix}
=\frac14(1,1,1).$$