MM2001 · Hela algebra

Tenta 2017-06-09

Okänd6 uppgifter

#Uppgift 1

Uppgift 1

(a)

Elsa bläddrar i kokboken och väljer mellan elva olika rätter. På hur många sätt kan hon komponera en fyrarättersmiddag av dessa, där hon alltså äter fyra olika rätter i en viss ordning? Svaret skall räknas ut explicit.

(b)

Mängderna $X$ och $Y$ uppfyller villkoren

$$X \cup Y = \{1, 2, 3\}, \qquad X \cap Y = X \qquad \text{och} \qquad Y \setminus X = \{3\}.$$

Ange alla möjligheter för (elementen i) mängderna $X$ och $Y$.

(c)

Låt $p$ och $q$ beteckna två positiva heltal. Skriv summan

$$q + 2q + 3q + \dots + (p - 1)q + pq$$

med summanotation (summatecknet $\sum$). Beräkna den också.

Visa lösningDölj lösning

(a) Antalet ordnade urval av $4$ objekt bland $11$ är
$$11\cdot10\cdot9\cdot8=7920.$$

(b) Från $X\cup Y=X$ följer det att $X$ är inkluderad i $Y$. Då har vi $Y=X\cup Y=\{1,2,3\}$. Villkoret $Y\setminus X=\{3\}$ ger slutligen att $X=\{1,2\}$.

(c) Summan är aritmetisk:
$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{p}nq&=q+2q+3q+\cdots+(p-1)q+pq\\\\ &=q(1+2+3+\cdots+(p-1)+p) =\frac{pq(p+1)}2. \end{aligned}$$

#Uppgift 2

Uppgift 2

(a)

Visa, att de tre vektorerna $(2, 1, 1)$, $(1, 2, 1)$ och $(1, 1, 2)$ beskriver en ny bas i rummet.

(b)

Avgör, huruvida basen är ortonormerad.

(c)

Bestäm koordinaterna i denna bas för den vektor, som har koordinaterna $(1, 1, 1)$ i standardbasen.

Visa lösningDölj lösning

(a) Basbytesmatrisen är
$$Q=\begin{pmatrix}2&1&1\\\\1&2&1\\\\1&1&2\end{pmatrix},$$
vars determinant är $4$, alltså nollskild. Enligt Linjära algebrans huvudsats utgör de därför en bas i rummet.

(b) Basbytesmatrisen är ej ortogonal, ty $Q^{\\mathsf T}Q\ne E$. Basen är därför ej ortonormerad. (Man ser även lätt, att basvektorerna varken är ortogonala mot varandra eller har längden $1$.)

(c) Inversen till basbytesmatrisen är
$$Q^{-1}=\frac14\begin{pmatrix}3&-1&-1\\\\-1&3&-1\\\\-1&-1&3\end{pmatrix}.$$
Av koordinatbytesformeln $X=QX'$ fås koordinaterna för vektorn i den nya basen genom
$$X'=Q^{-1}X =\frac14\begin{pmatrix}3&-1&-1\\\\-1&3&-1\\\\-1&-1&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\\1\\\\1\end{pmatrix} =\frac14\begin{pmatrix}1\\\\1\\\\1\end{pmatrix} =\frac14(1,1,1).$$

#Uppgift 3

Uppgift 3

Striden mot Rymdimperiet är inne i sin kritiska slutfas. Kejsar Pampatines ondskefulla dator Dödshjärnan svävar över skogsmånen $n$-dor, som lokalt kan approximeras med planet

$$4x - 3y + z = 90.$$

Nedanför, på månen $n$-dors yta, rycker rebelltrupperna, under prinsessan Lailas kommando, fram mot det kärnkraftverk, som förser Dödshjärnan, i punkten $(4, 12, 6)$, med ett ogenomträngligt skyddande kraftfält.

(a)

Beräkna koordinaterna för kärnkraftverket, som står på månens yta rakt under Dödshjärnan. Beräkna även avståndet mellan Dödshjärnan och månen $n$-dor.

(b)

Sedan prinsessan Lailas trupper lyckats avveckla kärnkraftverket och därmed förstöra det skyddande kraftfältet, återstår det för Lukas Molnpromenerare att spränga själva Dödshjärnan i luften. Hans rymdskepp färdas längs banan

$$(x, y, z) = (a + t, -1 + t, -1 + bt),$$

där $t$ betecknar tiden. Bestäm konstanterna $a$ och $b$, så att han flyger rakt mot Dödshjärnan.

Visa lösningDölj lösning

(a) Dödshjärnan befinner sig i punkten $D=(4,12,6)$. En punkt på månytan är t.ex. $P=(0,0,90)$. Vektorn $\\overrightarrow{DP}=(-4,-12,84)$ projiceras på månytans normalvektor $(4,-3,1)$ enligt Projektionsformeln:
$$\\operatorname{proj}_{(4,-3,1)}(-4,-12,84) =\frac{(-4,-12,84)\cdot(4,-3,1)}{|(4,-3,1)|^2}(4,-3,1) =\frac{104}{26}(4,-3,1)=(16,-12,4).$$
Punkten rakt under Dödshjärnan är
$$(4,12,6)+(16,-12,4)=(20,0,10).$$
Avståndet mellan Dödshjärnan och månen n-dor är
$$|(16,-12,4)|=4|(4,-3,1)|=4\sqrt{4^2+3^2+1^2}=4\sqrt{26}.$$

(b) Att Dödshjärnan ligger på banan betyder att något $t$ skall lösa ekvationssystemet
$$4=a+t,\qquad12=-1+t,\qquad6=-1+bt.$$
Omedelbart fås $t=13$, $a=-9$ och $b=7/13$.

#Uppgift 4

Uppgift 4

Finn alla komplexa tal $z$, som löser ekvationen

$$z^{2} - 3z = -3 + i.$$

Visa lösningDölj lösning

Kvadratkomplettering ger ekvationen
$$\left(z-\frac32\right)^2=z^2-3z+\frac94=-\frac34+i.$$
Ansatsen $z-\frac32=x+yi$ ger
$$x^2-y^2+2xyi=(x+yi)^2=-\frac34+i,$$
samt
$$x^2+y^2=|x+yi|^2=\left|-\frac34+i\right| =\sqrt{\frac9{16}+1}=\frac54.$$
Varav erhålles ekvationssystemet
$$x^2-y^2=-\frac34,\qquad xy=\frac12,\qquad x^2+y^2=\frac54.$$
Adderas den första och den tredje ekvationen fås $2x^2=\frac12$, varav $x=\pm\frac12$. Subtraheras den första och den tredje ekvationen fås $2y^2=2$, varav $y=\pm1$. Från den andra ekvationen inses att $x$ och $y$ har samma tecken. Lösningarna är alltså $x+yi=\pm(\frac12+i)$. Den ursprungliga ekvationen har lösningarna
$$z=\frac32+x+yi=\frac32\pm\left(\frac12+i\right)=2+i,\ 1-i.$$

#Uppgift 5

Uppgift 5

(a)

Finn bilden av vektorn $(1, 1, 1)$ under den linjära avbildning $\mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}$, som har avbildningsmatrisen

$$\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$

(b)

Den linjära avbildningen $T : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ består i att successivt utföra följande fyra transformationer:

först vrida vinkeln $\theta$ moturs;
sedan spegla i linjen $x = y$;
därefter vrida vinkeln $\theta$ medurs;
och slutligen spegla igen i linjen $x = y$.

Beräkna avbildningsmatrisen för $T$.

(c)

Ge en sammanfattande geometrisk tolkning av $T$, exempelvis utifrån dess avbildningsmatris.

Visa lösningDölj lösning

(a) Bilden är
$$\begin{pmatrix}\frac12&\frac13&\frac16\\0&\frac14&\frac34\\0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=(1,1,1).$$

(b) Vridning vinkeln $\theta$ moturs har matrisen
$$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix},$$
vridning medurs har matrisen
$$\begin{pmatrix}\cos(-\theta)&-\sin(-\theta)\\\sin(-\theta)&\cos(-\theta)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix},$$
och spegling i linjen $x=y$ matrisen
$$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.$$
(Detta kan direkt inses, men den kan också härledas med hjälp av den vanliga metoden för att ställa upp speglingsmatriser.)
Avbildningen $T$ har därför matrisen
$$\begin{aligned} T&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\cos^2\theta-\sin^2\theta&-2\sin\theta\cos\theta\\2\sin\theta\cos\theta&\cos^2\theta-\sin^2\theta\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos2\theta&-\sin2\theta\\\sin2\theta&\cos2\theta\end{pmatrix}. \end{aligned}$$

#Uppgift 6

Uppgift 6

(a)

Visa, att varje udda positivt tal $a$ kan skrivas på formen

$$a = \sqrt{1 + 8m},$$

för något heltal $m$.

(b)

Visa, att varje primtal $p > 3$ kan skrivas på formen

$$p = \sqrt{1 + 24n},$$

för något heltal $n$.

Visa lösningDölj lösning

(a) Påståendet är (för positivt $m$) ekvivalent med att
$$8m=a^2-1=(a+1)(a-1).$$
Vi borde kunna välja $m=\\frac18(a+1)(a-1)$, och det måste därför bara visas att detta är ett heltal, alltså att $(a+1)(a-1)$ alltid är delbart med $8$.
Talet $a$ är udda, vilket betyder att $a\pm1$ är jämna och en av dem delbar med $4$. Alltså är $(a+1)(a-1)$ delbart med $8$, och beviset är klart.

(b) Påståendet är (för positivt $n$) ekvivalent med att
$$24n=p^2-1=(p+1)(p-1).$$
Vi borde kunna välja $n=\\frac1{24}(p+1)(p-1)$, och vi måste bara visa att $(p+1)(p-1)$ alltid är delbart med $24$.
Primtalet $p$ är udda, så enligt (a) är $(p+1)(p-1)$ delbart med $8$. Vidare är $p>3$ inte delbart med $3$, varför precis en av $p\pm1$ är delbar med $3$. Det följer då att $(p+1)(p-1)$ är delbart med $24$, och beviset är klart.