Uppgift 6

(a) Påståendet är (för positivt $m$) ekvivalent med att
$$8m=a^2-1=(a+1)(a-1).$$
Vi borde kunna välja $m=\\frac18(a+1)(a-1)$, och det måste därför bara visas att detta är ett heltal, alltså att $(a+1)(a-1)$ alltid är delbart med $8$.
Talet $a$ är udda, vilket betyder att $a\pm1$ är jämna och en av dem delbar med $4$. Alltså är $(a+1)(a-1)$ delbart med $8$, och beviset är klart.

(b) Påståendet är (för positivt $n$) ekvivalent med att
$$24n=p^2-1=(p+1)(p-1).$$
Vi borde kunna välja $n=\\frac1{24}(p+1)(p-1)$, och vi måste bara visa att $(p+1)(p-1)$ alltid är delbart med $24$.
Primtalet $p$ är udda, så enligt (a) är $(p+1)(p-1)$ delbart med $8$. Vidare är $p>3$ inte delbart med $3$, varför precis en av $p\pm1$ är delbar med $3$. Det följer då att $(p+1)(p-1)$ är delbart med $24$, och beviset är klart.