Uppgift 4

Kvadratkomplettering ger ekvationen
$$\left(z-\frac32\right)^2=z^2-3z+\frac94=-\frac34+i.$$
Ansatsen $z-\frac32=x+yi$ ger
$$x^2-y^2+2xyi=(x+yi)^2=-\frac34+i,$$
samt
$$x^2+y^2=|x+yi|^2=\left|-\frac34+i\right| =\sqrt{\frac9{16}+1}=\frac54.$$
Varav erhålles ekvationssystemet
$$x^2-y^2=-\frac34,\qquad xy=\frac12,\qquad x^2+y^2=\frac54.$$
Adderas den första och den tredje ekvationen fås $2x^2=\frac12$, varav $x=\pm\frac12$. Subtraheras den första och den tredje ekvationen fås $2y^2=2$, varav $y=\pm1$. Från den andra ekvationen inses att $x$ och $y$ har samma tecken. Lösningarna är alltså $x+yi=\pm(\frac12+i)$. Den ursprungliga ekvationen har lösningarna
$$z=\frac32+x+yi=\frac32\pm\left(\frac12+i\right)=2+i,\ 1-i.$$