Hela algebra · 2017-06-09

Uppgift 5

Uppgift 5

(a)

Finn bilden av vektorn $(1, 1, 1)$ under den linjära avbildning $\mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}$, som har avbildningsmatrisen

$$\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.$$

(b)

Den linjära avbildningen $T : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ består i att successivt utföra följande fyra transformationer:

först vrida vinkeln $\theta$ moturs;
sedan spegla i linjen $x = y$;
därefter vrida vinkeln $\theta$ medurs;
och slutligen spegla igen i linjen $x = y$.

Beräkna avbildningsmatrisen för $T$.

(c)

Ge en sammanfattande geometrisk tolkning av $T$, exempelvis utifrån dess avbildningsmatris.

Visa lösningDölj lösning

(a) Bilden är
$$\begin{pmatrix}\frac12&\frac13&\frac16\\0&\frac14&\frac34\\0&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=(1,1,1).$$

(b) Vridning vinkeln $\theta$ moturs har matrisen
$$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix},$$
vridning medurs har matrisen
$$\begin{pmatrix}\cos(-\theta)&-\sin(-\theta)\\\sin(-\theta)&\cos(-\theta)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix},$$
och spegling i linjen $x=y$ matrisen
$$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.$$
(Detta kan direkt inses, men den kan också härledas med hjälp av den vanliga metoden för att ställa upp speglingsmatriser.)
Avbildningen $T$ har därför matrisen
$$\begin{aligned} T&=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}\cos^2\theta-\sin^2\theta&-2\sin\theta\cos\theta\\2\sin\theta\cos\theta&\cos^2\theta-\sin^2\theta\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos2\theta&-\sin2\theta\\\sin2\theta&\cos2\theta\end{pmatrix}. \end{aligned}$$