Hela algebra · 2017-12-06

Uppgift 6

Uppgift 6

(a)

För vilka värden på $a$ bildar vektorerna $\mathbf{v}_1 = (0, a, 4)$, $\mathbf{v}_2 = (1, 2, a)$ och $\mathbf{v}_3 = (1, 0, 2)$ en bas för rummet? Ordna vektorerna så de bildar en positivt orienterad bas om $a = 3$.

(b)

Betrakta följande avbildningar från rummet till rummet: $S$ speglar vektorer i planet $x + 2y - z = 0$, och $V$ är vridning vinkeln $\frac{\pi}{2}$ moturs kring $z$-axeln. Bestäm matriserna (med avseende på standardbasen) för $S$ och $V$. Använd matriserna för att bestämma bilden av vektorn $\mathbf{e}_1$ under den sammansatta avbildningen $V \circ S$.

Visa lösningDölj lösning

(a) Låt
$$M=\begin{pmatrix}0&1&1\\\\a&2&0\\\\4&a&2\end{pmatrix}$$
vara matrisen med vektorernas koordinatvektorer som kolonner. Man får
$$\\det(M)=a^2-2a-8=(a-1)^2-9,$$
så $\det(M)=0$ omm $a-1=\pm3$. Vektorerna bildar alltså en bas för alla $a$ utom $4$ och $-2$. Om $a=3$ blir $\det(M)=-5<0$, så basen $(v_1,v_2,v_3)$ är negativt orienterad. Om vi byter plats på två av vektorerna får vi en positivt orienterad bas, t.ex. $(v_2,v_1,v_3)$.

(b) Planets normalvektor är $n=(1,2,-1)$. Geometriskt ser vi att speglingen $S(v)$ av en vektor $v=(x,y,z)$ ges av
$$S(v)=v-2\\operatorname{Proj}_n(v) =v-2\frac{x+2y-z}{|n|^2}n =v-2\frac{x+2y-z}{6}n.$$
Detta ger
$$S(v)=\frac13(2x-2y+z,-2x-y+2z,x+2y+2z),$$
från vilket vi får att $S$ har matrisen
$$A=\frac13\begin{pmatrix}2&-2&1\\\\-2&-1&2\\\\1&2&2\end{pmatrix}.$$
Vridningen $V$ har matrisen
$$B=\begin{pmatrix}0&-1&0\\\\1&0&0\\\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
Vi får
$$ (V\circ S)(e_1)=BA\begin{pmatrix}1\\\\0\\\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2/3\\\\2/3\\\\1/3\end{pmatrix} =\frac13(2e_1+2e_2+e_3).$$