Hela algebra · 2018-01-12
Rita hyperbeln $x^2+6x-4y^2+8y+4=0$ samt ange dess asymptoter.
Bestäm den minsta ickenegativa resten när $2018^{2017}$ delas med $7$.
Ange för vilka $a,b\in\mathbb{Z}$ som utsagan
$$ P\colon\forall n\in\mathbb{Z}\colon a\mid bn $$
respektive utsagan
$$ Q\colon\exists n\in\mathbb{Z}\colon a\mid bn $$
är sanna. (Svar räcker, men måste vara helt korrekt för poäng.)
(a) Kvadratkomplettering ger den ekvivalenta ekvationen
$$(x+3)^2-4(y-1)^2=1.$$
Från denna form ser vi enkelt två punkter $(x,y)=(-3\pm1,1)$, och att asymptoterna ges av $x+3=\pm2(y-1)$, dvs.
$$y=\frac{x+5}{2}\qquad\text{respektive}\qquad y=-\frac{x+1}{2}.$$
Vi skissar grafen.
(b) Moduliräkning ger
$$2018^{2017}\equiv2^{2017}=2^{1+3\cdot672}=2\cdot16^{672}\equiv2\cdot1^{672}=2\pmod7.$$
(c) För att $P$ skall vara sann behöver man $a\mid b$ (tag t.ex. $n=1$), men omvänt gäller då alltid $a\mid bn$, så $P$ blir sann. Utsagan $Q$ är sann för alla $(a,b)$ (välj t.ex. $n=a$).