MM2001 · Hela algebra
Låt $c$ vara ett reellt tal och betrakta vektorerna
$$ \mathbf{u}=(2,1+c^2,-2) \quad\text{och}\quad \mathbf{v}=(1,1,c). $$
För vilka värden på $c$ är vektorerna ortogonala?
För vilka värden på $c$ är vektorerna parallella?
Bestäm vinkeln mellan vektorerna då $c=1$.
(a) Vektorerna är ortogonala precis då
$$0=u\cdot v=2+(1+c^2)-2c=(c-1)^2+2,$$
vilket aldrig inträffar.
(b) Vektorerna är parallella precis då $u=kv$ för något tal $k$, vilket ger ekvationssystemet
$$2=k,\qquad1+c^2=k,\qquad-2=kc.$$
Enda lösningen är $c=-1$.
(c) För $u=(2,2,-2)$ och $v=(1,1,1)$ ges den mellanliggande vinkeln $\\theta$ av
$$\cos\\theta=\frac{u\cdot v}{|u||v|}
=\frac{(2,2,-2)\cdot(1,1,1)}{|(2,2,-2)||(1,1,1)|}
=\frac2{\\sqrt{12}\\sqrt3}=\frac13,$$
så $\\theta=\\arccos(1/3)$.
Rita hyperbeln $x^2+6x-4y^2+8y+4=0$ samt ange dess asymptoter.
Bestäm den minsta ickenegativa resten när $2018^{2017}$ delas med $7$.
Ange för vilka $a,b\in\mathbb{Z}$ som utsagan
$$ P\colon\forall n\in\mathbb{Z}\colon a\mid bn $$
respektive utsagan
$$ Q\colon\exists n\in\mathbb{Z}\colon a\mid bn $$
är sanna. (Svar räcker, men måste vara helt korrekt för poäng.)
(a) Kvadratkomplettering ger den ekvivalenta ekvationen
$$(x+3)^2-4(y-1)^2=1.$$
Från denna form ser vi enkelt två punkter $(x,y)=(-3\pm1,1)$, och att asymptoterna ges av $x+3=\pm2(y-1)$, dvs.
$$y=\frac{x+5}{2}\qquad\text{respektive}\qquad y=-\frac{x+1}{2}.$$
Vi skissar grafen.
(b) Moduliräkning ger
$$2018^{2017}\equiv2^{2017}=2^{1+3\cdot672}=2\cdot16^{672}\equiv2\cdot1^{672}=2\pmod7.$$
(c) För att $P$ skall vara sann behöver man $a\mid b$ (tag t.ex. $n=1$), men omvänt gäller då alltid $a\mid bn$, så $P$ blir sann. Utsagan $Q$ är sann för alla $(a,b)$ (välj t.ex. $n=a$).
Ekvationen
$$ z^5-2z^4+5z^3+8z^2-16z+40=0 $$
har en lösning $z=1+2i$. Bestäm alla komplexa lösningar. Ange svaren på rektangulär (kartesisk) form.
Polynomet $p(z)$ har reella koefficienter så även konjugatet $1-2i$ är en rot, så polynomet delas av
$$(z-(1+2i))(z-(1-2i))=z^2-2z+5.$$
Polynomdivision ger
$$p(z)=(z^2-2z+5)(z^3+8).$$
Vi behöver lösa ekvationen $z^3+8=0$. Ansätter vi lösningen på polär form $z=re^{\\theta i}$ fås
$$r^3e^{3\\theta i}=8e^{\\pi i}.$$
Vi behöver alltså $r^3=8$ och $3\\theta=\\pi+2\\pi n$ för $n\in\\mathbb Z$, vilket ger $r=2$ och $\\theta=\\pi/3+2\\pi n/3$. Sätter vi in $n=1,2,3$ fås tre lösningar. Svar:
$$z_{1,2}=1\pm2i,\qquad z_3=-2,\qquad z_{4,5}=1\pm\\sqrt3\,i.$$
Bestäm ekvationen för planet som innehåller punkterna $(3,1,1)$ och $(0,1,2)$ och som är vinkelrät mot planet $x+y+z=1$.
Bestäm kortaste avståndet från planet $x+2y-3z=1$ till punkten $P=(2,3,1)$. Ange speciellt den punkt i planet som är närmast $P$.
(a) Låt $P=(3,1,1)$ och $Q=(0,1,2)$. Normalvektorn till planet $x+y+z=1$ är $v=(1,1,1)$. Vårt plan är parallellt med $v$ och $u=\overrightarrow{PQ}=(-3,0,1)$, så det har normalvektor
$$n=v\times u=(1,-4,3).$$
Planets ekvation är därför
$$(x-3)-4(y-1)+3(z-1)=0,$$
dvs. $x-4y+3z=2$.
(b) Planet har normal $n=(1,2,-3)$. Linjen $L$ genom $P$ vinkelrät med planet har parameterformen
$$(x,y,z)=(2+t,3+2t,1-3t),\qquad t\in\mathbb R.$$
Skärningen $S$ med planet fås då
$$ (2+t)+2(3+2t)-3(1-3t)=1,$$
vilket ger $t=-\frac27$. Avståndet är därmed
$$|\overrightarrow{PS}|=\left|-\frac27n\right|=\frac27\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2}=\frac{2\sqrt{14}}7,$$
och punkten
$$S=\left(\frac{12}7,\frac{17}7,\frac{13}7\right).$$
Betrakta matriserna
$$ A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \quad\text{och}\quad B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1 & 1\end{pmatrix}. $$
Lös matrisekvationen $XA+2E=B$.
Tolka geometriskt de två avbildningarna $F$ och $G$ som i standardbasen $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$ har matriserna $A$ respektive $ABA$.
Bestäm matrisen för avbildningen $F$ i basen
$$ \begin{cases} \mathbf{f}_1=\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2,\\ \mathbf{f}_2=-\mathbf{e}_1. \end{cases} $$
(a) Matrisekvationen $XA+2E=B$ ger
$$X=(B-2E)A^{-1}.$$
Med standardmetoden beräknas
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\\\0&1\end{pmatrix},$$
och vi får
$$X=\begin{pmatrix}-1&0\\-1&-1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}$$
(b) $F$ är en skjuvning med faktorn $1$ i $x$-led. Vi får
$$ABA^{-1}=
\begin{pmatrix}0&1\\\\-1&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\cos(-\\pi/2)&-\\sin(-\\pi/2)\\\\\\sin(-\\pi/2)&\\cos(-\\pi/2)\end{pmatrix},$$
så $G$ är en vridning vinkeln $\\pi/2$ medurs.
(c) Basradmatriserna är relaterade genom $f=eQ$ där
$$Q=\begin{pmatrix}1&-1\\\\1&0\end{pmatrix},$$
så i basen $f$ har $F$ matrisen
$$A'=Q^{-1}AQ
=\begin{pmatrix}0&1\\\\-1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&1\\\\0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&-1\\\\1&0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}1&0\\\\-1&1\end{pmatrix}=B.$$
Om
$$ C=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} $$
så visar det sig att det finns en matris $D$ sådan att
$$ C^n=E+nD, $$
för alla naturliga tal $n$. Bestäm vad $D$ måste vara, och visa sedan med induktion att den påstådda formeln gäller.
Om $n=1$ fås $C=E+D$, så
$$D=C-E=\begin{pmatrix}1&-1\\\\1&-1\end{pmatrix}.$$
Vi visar nu likheten med induktion. I basfallet $n=0$ får vi $VL=C^0=E=E+0C=HL$, så formeln stämmer då. Vi gör nu induktionsantagandet att formeln gäller för något $n=k\ge0$, dvs. att $C^k=E+kD$. Vi vill visa att formeln då gäller även för $n=k+1$, dvs.
$$C^{k+1}=E+(k+1)D.\tag{1}$$
Vi får
$$\begin{aligned}
VL=C^{k+1}&=C\cdot C^k=C(E+kD)=C+kCD\\\\
&=E+D+kD=HL,
\end{aligned}$$
så (1) gäller. Enligt induktionsprincipen gäller därför formeln för $n=0,1,2,\ldots$.