Hela algebra · 2018-01-12
Om
$$ C=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} $$
så visar det sig att det finns en matris $D$ sådan att
$$ C^n=E+nD, $$
för alla naturliga tal $n$. Bestäm vad $D$ måste vara, och visa sedan med induktion att den påstådda formeln gäller.
Om $n=1$ fås $C=E+D$, så
$$D=C-E=\begin{pmatrix}1&-1\\\\1&-1\end{pmatrix}.$$
Vi visar nu likheten med induktion. I basfallet $n=0$ får vi $VL=C^0=E=E+0C=HL$, så formeln stämmer då. Vi gör nu induktionsantagandet att formeln gäller för något $n=k\ge0$, dvs. att $C^k=E+kD$. Vi vill visa att formeln då gäller även för $n=k+1$, dvs.
$$C^{k+1}=E+(k+1)D.\tag{1}$$
Vi får
$$\begin{aligned}
VL=C^{k+1}&=C\cdot C^k=C(E+kD)=C+kCD\\\\
&=E+D+kD=HL,
\end{aligned}$$
så (1) gäller. Enligt induktionsprincipen gäller därför formeln för $n=0,1,2,\ldots$.