Hela algebra · 2018-01-12
Betrakta matriserna
$$ A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \quad\text{och}\quad B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1 & 1\end{pmatrix}. $$
Lös matrisekvationen $XA+2E=B$.
Tolka geometriskt de två avbildningarna $F$ och $G$ som i standardbasen $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$ har matriserna $A$ respektive $ABA$.
Bestäm matrisen för avbildningen $F$ i basen
$$ \begin{cases} \mathbf{f}_1=\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2,\\ \mathbf{f}_2=-\mathbf{e}_1. \end{cases} $$
(a) Matrisekvationen $XA+2E=B$ ger
$$X=(B-2E)A^{-1}.$$
Med standardmetoden beräknas
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\\\0&1\end{pmatrix},$$
och vi får
$$X=\begin{pmatrix}-1&0\\-1&-1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}$$
(b) $F$ är en skjuvning med faktorn $1$ i $x$-led. Vi får
$$ABA^{-1}=
\begin{pmatrix}0&1\\\\-1&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\cos(-\\pi/2)&-\\sin(-\\pi/2)\\\\\\sin(-\\pi/2)&\\cos(-\\pi/2)\end{pmatrix},$$
så $G$ är en vridning vinkeln $\\pi/2$ medurs.
(c) Basradmatriserna är relaterade genom $f=eQ$ där
$$Q=\begin{pmatrix}1&-1\\\\1&0\end{pmatrix},$$
så i basen $f$ har $F$ matrisen
$$A'=Q^{-1}AQ
=\begin{pmatrix}0&1\\\\-1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&1\\\\0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&-1\\\\1&0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}1&0\\\\-1&1\end{pmatrix}=B.$$