Uppgift 3

Polynomet $p(z)$ har reella koefficienter så även konjugatet $1-2i$ är en rot, så polynomet delas av
$$(z-(1+2i))(z-(1-2i))=z^2-2z+5.$$
Polynomdivision ger
$$p(z)=(z^2-2z+5)(z^3+8).$$
Vi behöver lösa ekvationen $z^3+8=0$. Ansätter vi lösningen på polär form $z=re^{\\theta i}$ fås
$$r^3e^{3\\theta i}=8e^{\\pi i}.$$
Vi behöver alltså $r^3=8$ och $3\\theta=\\pi+2\\pi n$ för $n\in\\mathbb Z$, vilket ger $r=2$ och $\\theta=\\pi/3+2\\pi n/3$. Sätter vi in $n=1,2,3$ fås tre lösningar. Svar:
$$z_{1,2}=1\pm2i,\qquad z_3=-2,\qquad z_{4,5}=1\pm\\sqrt3\,i.$$