Hela algebra · 2018-01-12
Låt $c$ vara ett reellt tal och betrakta vektorerna
$$ \mathbf{u}=(2,1+c^2,-2) \quad\text{och}\quad \mathbf{v}=(1,1,c). $$
För vilka värden på $c$ är vektorerna ortogonala?
För vilka värden på $c$ är vektorerna parallella?
Bestäm vinkeln mellan vektorerna då $c=1$.
(a) Vektorerna är ortogonala precis då
$$0=u\cdot v=2+(1+c^2)-2c=(c-1)^2+2,$$
vilket aldrig inträffar.
(b) Vektorerna är parallella precis då $u=kv$ för något tal $k$, vilket ger ekvationssystemet
$$2=k,\qquad1+c^2=k,\qquad-2=kc.$$
Enda lösningen är $c=-1$.
(c) För $u=(2,2,-2)$ och $v=(1,1,1)$ ges den mellanliggande vinkeln $\\theta$ av
$$\cos\\theta=\frac{u\cdot v}{|u||v|}
=\frac{(2,2,-2)\cdot(1,1,1)}{|(2,2,-2)||(1,1,1)|}
=\frac2{\\sqrt{12}\\sqrt3}=\frac13,$$
så $\\theta=\\arccos(1/3)$.