Hela algebra · 2018-01-12
Bestäm ekvationen för planet som innehåller punkterna $(3,1,1)$ och $(0,1,2)$ och som är vinkelrät mot planet $x+y+z=1$.
Bestäm kortaste avståndet från planet $x+2y-3z=1$ till punkten $P=(2,3,1)$. Ange speciellt den punkt i planet som är närmast $P$.
(a) Låt $P=(3,1,1)$ och $Q=(0,1,2)$. Normalvektorn till planet $x+y+z=1$ är $v=(1,1,1)$. Vårt plan är parallellt med $v$ och $u=\overrightarrow{PQ}=(-3,0,1)$, så det har normalvektor
$$n=v\times u=(1,-4,3).$$
Planets ekvation är därför
$$(x-3)-4(y-1)+3(z-1)=0,$$
dvs. $x-4y+3z=2$.
(b) Planet har normal $n=(1,2,-3)$. Linjen $L$ genom $P$ vinkelrät med planet har parameterformen
$$(x,y,z)=(2+t,3+2t,1-3t),\qquad t\in\mathbb R.$$
Skärningen $S$ med planet fås då
$$ (2+t)+2(3+2t)-3(1-3t)=1,$$
vilket ger $t=-\frac27$. Avståndet är därmed
$$|\overrightarrow{PS}|=\left|-\frac27n\right|=\frac27\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2}=\frac{2\sqrt{14}}7,$$
och punkten
$$S=\left(\frac{12}7,\frac{17}7,\frac{13}7\right).$$