Uppgift 2
Låt $p(x)=x^6+1$.
(a)
Bestäm resten när $p(x)$ delas med $x+2i$.
(b)
Bestäm alla komplexa lösningar till $p(x)=0$, och rita upp dem i det komplexa talplanet.
(c)
Faktorisera $p(x)$ i reella faktorer av så låg grad som möjligt.
Hela algebra · 2018-05-07
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
(a) Enligt faktorsatsen är resten
$$p(-2i)=(-2i)^6+1=-63.$$
(b) För att lösa $z^6+1=0\Longleftrightarrow z^6=-1$, ansätter vi lösningen på polär form $z=re^{\theta i}$. Vi får $r^6e^{6\theta i}=e^{\pi i}$. Vi behöver alltså $r^6=1$ och $6\theta=\pi+2\pi n$ för $n\in\mathbb Z$. Vilket ger $r=1$ och
$$\theta=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}n.$$
Sätter vi in $n=0,1,2,3,4,5$ fås lösningarna $z=\pm i$ och
$$z=\frac{\pm\sqrt3\pm i}{2}.$$
Dessa bildar en regelbunden 6-hörning på enhetscirkeln i det komplexa talplanet.
(c) Parar vi ihop konjugerade nollställen får vi
$$
\begin{aligned}
p(z)={}&(z-i)(z+i)
\left(z-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2}\right)
\left(z-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}\right)\\
&\mathrel{}\cdot
\left(z+\frac{\sqrt3}{2}-\frac{i}{2}\right)
\left(z+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}\right)\\
={}&(z^2+1)(z^2-\sqrt3z+1)(z^2+\sqrt3z+1).
\end{aligned}
$$