Hela algebra · 2018-05-07
Ge sanningstabellen för utsagan $(P\Rightarrow\neg Q)\land(Q\Rightarrow P)$. Ange därefter en ekvivalent utsaga, på så enkel form som möjligt.
Hur många 4-siffriga PIN-koder finns det med
(i) alla siffror olika?
(ii) inte 3 eller fler förekomster av någon siffra?
(iii) med precis 3 olika siffror?
Svaren skall anges uträknade.
(a) Sanningstabellen är
$$
\begin{array}{c|c|c|c|c}
P&Q&P\Rightarrow\neg Q&Q\Rightarrow P&(P\Rightarrow\neg Q)\land(Q\Rightarrow P)\\
\hline
S&S&F&S&F\\
S&F&S&S&S\\
F&S&S&F&F\\
F&F&S&S&S
\end{array}
$$
Vi ser från sanningstabellen att utsagan är ekvivalent med $\neg Q$.
(b) i. Med multiplikationsprincipen fås
$$10\cdot9\cdot8\cdot7=5040.$$
ii. Det finns $10$ koder med $4$ upprepningar av en siffra. Om man har $3$ upprepningar av en siffra, kan den siffran väljas på $10$ sätt. Den enstaka siffran kan väljas på $9$ sätt, och dess position på $4$ sätt. Vi får alltså
$$10^4-10-10\cdot9\cdot4=9630$$
möjligheter.
iii. Vi måste ha precis en siffra som förekommer $2$ gånger, så vi får
$$10\binom42\cdot9\cdot8=4320.$$