Uppgift 5
Låt $L$ vara skärningslinjen mellan planen $x+3y=7$ och $2y+z=4$, och låt $P$ vara punkten $(3,1,1)$.
(a)
Bestäm ekvationen (på normalform) för planet som innehåller $L$ och $P$.
(b)
Finn den punkt på $L$ som är närmast $P$.
Hela algebra · 2018-05-07
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
(a) Löser vi ekvationssystemet med planets ekvationer får vi att $L$ ges av
$$(x,y,z)=(1,2,0)+t(3,-1,2),\qquad t\in\mathbb R.$$
Alltså är $Q=(1,2,0)$ en punkt på $L$, och $\vec u=(3,-1,2)$ en riktningsvektor. Vektorerna $\vec u$ och $\vec v=\overrightarrow{QP}=(2,-1,1)$ ligger i planet, så vi får en normalvektor genom
$$
\vec n=\vec u\times\vec v=
\begin{vmatrix}
\vec e_1&\vec e_2&\vec e_3\\
3&-1&2\\
2&-1&1
\end{vmatrix}
=\vec e_1+\vec e_2-\vec e_3=(1,1,-1).
$$
Planets ekvation är därför
$$(x-1)+(y-2)-(z-0)=0,$$
dvs. $x+y-z=3$.
(b) Den närmaste punkten $R$ bestäms, genom ortogonal projektion på linjen, av
$$
\overrightarrow{QR}
=\operatorname{Proj}_{\vec u}\overrightarrow{QP}
=\frac{\overrightarrow{QP}\cdot\vec u}{|\vec u|^2}\vec u
=\frac9{14}\vec u
=\left(\frac{27}{14},\frac{-9}{14},\frac{18}{14}\right),
$$
så $\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QR}$ ger att punkten
$$R=\left(\frac{41}{14},\frac{19}{14},\frac{18}{14}\right).$$