Hela algebra · 2018-05-07
Låt $T$ vara den linjära avbildningen som ges av att först spegla i planet $x+y=0$, sedan rotera $90^{\circ}$ moturs kring $y$-axeln (sett från spetsen av $\mathbf{e}_2$), och slutligen spegla i $xz$-planet.
Bestäm matrisen för $T$ i standardbasen.
Ge en sammanfattande geometrisk tolkning av $T$.
(a) Första speglingen uppfyller
$$S_1(\vec e_1)=-\vec e_2,\qquad S_1(\vec e_2)=-\vec e_1,\qquad S_1(\vec e_3)=\vec e_3.$$
Rotationen har matris
$$
R=
\begin{pmatrix}
\cos(\pi/2)&0&\sin(\pi/2)\\
0&1&0\\
-\sin(\pi/2)&0&\cos(\pi/2)
\end{pmatrix}.
$$
Om speglingen i $xz$-planet har matris $S_2$ fås därmed matrisen
$$
T=S_2RS_1=
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}.
$$
(b) Vi ser att $T$ permuterar basvektorerna:
$$T(\vec e_1)=\vec e_2,\qquad T(\vec e_2)=\vec e_3,\qquad T(\vec e_3)=\vec e_1,$$
så efter lite handviftande inser man att $T$ roterar $120^\circ$ grader runt linjen genom origo med riktning $\vec v=(1,1,1)$, moturs sett från spetsen av $\vec v$.