Uppgift 2
Låt $P(z)=z^4-4z^3+7z^2-8z+10$. Lös ekvationen $P(z)=0$ fullständigt, givet att $z=2+i$ är ett nollställe till $P(z)$.
Hela algebra · 2018-06-11
Uppgift 2
Visa lösningDölj lösning
Polynomet $p(z)$ har reella koefficienter så även konjugatet $2-i$ är en rot, så polynomet delas av
$$(z-(2+i))(z-(2-i))=z^2-4z+5.$$
Polynomdivision ger
$$p(z)=(z^2-4z+5)(z^2+2).$$
Återstår att lösa ekvationen $z^2+2=0$, vilket ger
$$z_{1,2}=2\pm i,\qquad z_{3,4}=\pm\sqrt2\,i.$$