Tenta 2018-06-11

(a) Vi börjar med Euklides algoritm:
$$ \begin{aligned} 25&=1\cdot16+9,\\ 16&=1\cdot9+7,\\ 9&=1\cdot7+2,\\ 7&=3\cdot2+1. \end{aligned} $$
så $\operatorname{SGD}(25,16)=1$ och vi kan lösa ekvationen genom att köra Euklides algoritm baklänges:
$$ 1=7-3\cdot2=7-3\cdot(9-1\cdot7)=4\cdot7-3\cdot9 =4\cdot(16-1\cdot9)-3\cdot9 =4\cdot16-7\cdot9 =4\cdot16-7\cdot(25-1\cdot16)=11\cdot16-7\cdot25. $$
Vi får att $(x,y)=(-7,11)$ är en partikulärlösning, så den allmänna lösningen ges därmed av
$$ \begin{cases} x=-7+16k,\\ y=11-25k \end{cases} \qquad k\in\mathbb Z. $$

(b) Multipliceras lösningen i (a) med $1000$ fås partikulärlösning $(x,y)=(-7000,11000)$. Det går bra att arbeta med den, men tipset får oss kanske att se den enklare lösningen $(x,y)=(40,0)$. Därmed är den allmänna lösningen
$$ \begin{cases} x=40+16k,\\ y=-25k \end{cases} \qquad k\in\mathbb Z. $$
Villkoren $x,y>0$ ger $-2.5=-\frac{40}{16}<k<0$, så $k=-2$ eller $k=-1$, vilket ger $(x,y)=(8,50)$ respektive $(x,y)=(24,25)$.

Polynomet $p(z)$ har reella koefficienter så även konjugatet $2-i$ är en rot, så polynomet delas av
$$(z-(2+i))(z-(2-i))=z^2-4z+5.$$
Polynomdivision ger
$$p(z)=(z^2-4z+5)(z^2+2).$$
Återstår att lösa ekvationen $z^2+2=0$, vilket ger
$$z_{1,2}=2\pm i,\qquad z_{3,4}=\pm\sqrt2\,i.$$

(a) Eftersom primtalsfaktoriseringen av $35$ är $5\cdot7$, räcker det att visa att talet är delbart med $5$ och $7$. Moduloräkning ger
$$2^{300}-1=(2^2)^{150}-1=(-1)^{150}-1=0\pmod 5,$$
respektive
$$2^{300}-1=(2^3)^{100}-1=1^{100}-1=0\pmod 7,$$
vilket därmed visar påståendet.

(b) Centrum för ellipsen är mittpunkten $P=(0,1)$ mellan brännpunkterna. Ekvationen för ellipsen måste därmed vara på formen
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y-1)^2}{b^2}=1,$$
med storaxel $b$ och lillaxel $a$. Insättning av den givna punkten ger direkt $a^2=9$. Om vi betecknar avståndet från $P$ till brännpunkterna med $c=1$, har vi $b^2=a^2+c^2=9+1=10$. Ellipsens ekvation är därmed
$$\frac{x^2}{3^2}+\frac{(y-1)^2}{(\sqrt{10})^2}=1,$$
eller alternativt
$$10x^2+9y^2-18y=81.$$

(a) Vi har
$$ \begin{aligned} \sum_{k=2}^{n}3(-2)^k &=12-24+48-96+\cdots+3(-2)^n\\ &=12(1-2+4+\cdots+(-2)^{n-2})\\ &=\left[\,\text{geometrisk summa med kvot }-2\,\right]\\ &=12\frac{1-(-2)^{n-1}}{1-(-2)} =4-(-2)^{n+1}. \end{aligned} $$

(b) i. $4\binom{13}{5}$, välj en av $4$ färger, sedan $5$ kort av den färgen.

ii. $\binom{13}{3}\binom43\binom{12}{2}\binom42$, välj först trisskort, sedan paret.

iii. $\binom{13}{3}\binom43\binom{12}{2}\cdot4\cdot4$, efter trisskort är valda väljer vi $2$ ytterligare valörer, och slutligen färgerna på de udda korten.

(a) Planets normalvektor är $\vec n=(1,-2,3)$. Geometriskt ser vi att speglingen $S(\vec v)$ av en vektor $\vec v=(x,y,z)$ ges av
$$ S(\vec v)=\vec v-2\operatorname{Proj}_{\vec n}(\vec v) =\vec v-2\frac{\vec v\cdot\vec n}{|\vec n|^2}\vec n =\vec v-2\frac{x-2y+3z}{14}\vec n. $$
Detta ger
$$ S(\vec v)=\frac17(6x+2y-3z,\;2x+3y+6z,\;-3x+6y-2z), $$
från vilket vi får att $S$ har matrisen
$$ A=\frac17 \begin{pmatrix} 6&2&-3\\ 2&3&6\\ -3&6&-2 \end{pmatrix}. $$

(b) Om man speglar två gånger får man identitetsavbildningen, så spegling tre gånger blir samma som en spegling. Svaret blir alltså samma som i (a).

(c) En riktningsvektor för $x$-axeln är $\vec v_1=\vec e_1$, och speglingen i planet har riktningsvektorn $\vec v_2=S(\vec v_1)=\frac17(6,2,-3)$, enligt (a). Vinkeln $\theta$ bestäms av
$$ \cos\theta=\frac{\vec v_1\cdot\vec v_2}{|\vec v_1|\,|\vec v_2|} =\frac{6/7}{1\cdot1}=\frac67. $$
Anmärkning: Svaret $\cos\theta=-\frac67$ är också godkänt.

(a) Genom att lösa ekvationssystemet som ges av planens ekvationer får vi en parametrisering
$$L_3:(x,y,z)=(7,0,4)+t(-3,1,-2).$$
Vi ser därmed att $L_1$ och $L_3$ har parallella riktningsvektorer $\vec v_1=(6,-2,4)$ och $\vec v_3=(-3,1,-2)=-\frac12\vec v_1$, så dessa två linjer är sammanfallande eller parallella. Vi ser nu att punkten $(4,1,2)$ på $L_1$ fås i $L_3$’s parametrisering för $t=1$, så vi drar slutsatsen att $L_1=L_3$.
Linjen $L_2$ har dock en riktningsvektor $\vec v_2=(4,-3,1)$ som inte är parallell med $L_1$, så dessa linjer är skärande eller skeva. Löser man ekvationssystemet
$$ \begin{aligned} 4+6t&=5+4s,\\ 1-2t&=-1-3s,\\ 2+4t&=1+s \end{aligned} $$
hittar vi en lösning $t=-\frac12$, $s=-1$, så linjerna skär varandra i $P=(1,2,0)$.

(b) Två linjer som skär varandra ligger i ett gemensamt plan. Vi får en normalvektor $\vec n$ till planet genom att ta kryssprodukten av linjernas riktningsvektorer:
$$ \vec n=\vec v_2\times\vec v_3= \begin{vmatrix} \vec e_1&\vec e_2&\vec e_3\\ 4&-3&1\\ 1&-2&1 \end{vmatrix} =5\vec e_1+5\vec e_2-5\vec e_3=(5,5,-5). $$
Planets ekvation är därför
$$5(x-1)+5(y-2)-5(z-0)=0,$$
dvs. $x+y-z=3$.