Uppgift 3

(a) Eftersom primtalsfaktoriseringen av $35$ är $5\cdot7$, räcker det att visa att talet är delbart med $5$ och $7$. Moduloräkning ger
$$2^{300}-1=(2^2)^{150}-1=(-1)^{150}-1=0\pmod 5,$$
respektive
$$2^{300}-1=(2^3)^{100}-1=1^{100}-1=0\pmod 7,$$
vilket därmed visar påståendet.

(b) Centrum för ellipsen är mittpunkten $P=(0,1)$ mellan brännpunkterna. Ekvationen för ellipsen måste därmed vara på formen
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y-1)^2}{b^2}=1,$$
med storaxel $b$ och lillaxel $a$. Insättning av den givna punkten ger direkt $a^2=9$. Om vi betecknar avståndet från $P$ till brännpunkterna med $c=1$, har vi $b^2=a^2+c^2=9+1=10$. Ellipsens ekvation är därmed
$$\frac{x^2}{3^2}+\frac{(y-1)^2}{(\sqrt{10})^2}=1,$$
eller alternativt
$$10x^2+9y^2-18y=81.$$