Hela algebra · 2018-06-11
Låt $S$ vara spegling i planet $x-2y+3z=0$.
Bestäm matrisen för $S$ i standardbasen.
Vad är matrisen för avbildningen $S\circ S\circ S$?
Låt linjen $L_1$ vara $x$-axeln och $L_2$ dess spegling i planet. Bestäm vinkeln $\theta$ mellan $L_1$ och $L_2$. (Det räcker att bestämma $\cos\theta$.)
(a) Planets normalvektor är $\vec n=(1,-2,3)$. Geometriskt ser vi att speglingen $S(\vec v)$ av en vektor $\vec v=(x,y,z)$ ges av
$$
S(\vec v)=\vec v-2\operatorname{Proj}_{\vec n}(\vec v)
=\vec v-2\frac{\vec v\cdot\vec n}{|\vec n|^2}\vec n
=\vec v-2\frac{x-2y+3z}{14}\vec n.
$$
Detta ger
$$
S(\vec v)=\frac17(6x+2y-3z,\;2x+3y+6z,\;-3x+6y-2z),
$$
från vilket vi får att $S$ har matrisen
$$
A=\frac17
\begin{pmatrix}
6&2&-3\\
2&3&6\\
-3&6&-2
\end{pmatrix}.
$$
(b) Om man speglar två gånger får man identitetsavbildningen, så spegling tre gånger blir samma som en spegling. Svaret blir alltså samma som i (a).
(c) En riktningsvektor för $x$-axeln är $\vec v_1=\vec e_1$, och speglingen i planet har riktningsvektorn $\vec v_2=S(\vec v_1)=\frac17(6,2,-3)$, enligt (a). Vinkeln $\theta$ bestäms av
$$
\cos\theta=\frac{\vec v_1\cdot\vec v_2}{|\vec v_1|\,|\vec v_2|}
=\frac{6/7}{1\cdot1}=\frac67.
$$
Anmärkning: Svaret $\cos\theta=-\frac67$ är också godkänt.