(a) Genom att lösa ekvationssystemet som ges av planens ekvationer får vi en parametrisering
$$L_3:(x,y,z)=(7,0,4)+t(-3,1,-2).$$
Vi ser därmed att $L_1$ och $L_3$ har parallella riktningsvektorer $\vec v_1=(6,-2,4)$ och $\vec v_3=(-3,1,-2)=-\frac12\vec v_1$, så dessa två linjer är sammanfallande eller parallella. Vi ser nu att punkten $(4,1,2)$ på $L_1$ fås i $L_3$’s parametrisering för $t=1$, så vi drar slutsatsen att $L_1=L_3$.
Linjen $L_2$ har dock en riktningsvektor $\vec v_2=(4,-3,1)$ som inte är parallell med $L_1$, så dessa linjer är skärande eller skeva. Löser man ekvationssystemet
$$
\begin{aligned}
4+6t&=5+4s,\\
1-2t&=-1-3s,\\
2+4t&=1+s
\end{aligned}
$$
hittar vi en lösning $t=-\frac12$, $s=-1$, så linjerna skär varandra i $P=(1,2,0)$.
(b) Två linjer som skär varandra ligger i ett gemensamt plan. Vi får en normalvektor $\vec n$ till planet genom att ta kryssprodukten av linjernas riktningsvektorer:
$$
\vec n=\vec v_2\times\vec v_3=
\begin{vmatrix}
\vec e_1&\vec e_2&\vec e_3\\
4&-3&1\\
1&-2&1
\end{vmatrix}
=5\vec e_1+5\vec e_2-5\vec e_3=(5,5,-5).
$$
Planets ekvation är därför
$$5(x-1)+5(y-2)-5(z-0)=0,$$
dvs. $x+y-z=3$.