Hela algebra · 2018-06-11

Uppgift 4

Hela tentan

Håkan Granath Kombinatorik Beräkning

Uppgift 4

(a)

Skriv summan $12-24+48-96+\cdots+3(-2)^n$ med summanotation ($\sum$-tecken), samt beräkna summan.

(b)

En standardkortlek innehåller 52 kort i fyra olika färger, och 13 valörer per färg. En pokerhand innehåller 5 kort.

(i) Hur många olika pokerhänder har färg (dvs alla 5 kort har samma färg)?

(ii) Hur många har kåk, dvs tre kort av en valör och 2 kort av en annan?

(iii) Hur många har triss, dvs precis tre kort av en valör och två till med olika valörer.

Svaren får innehålla binomialkoefficienter.

Visa lösningDölj lösning

(a) Vi har
$$ \begin{aligned} \sum_{k=2}^{n}3(-2)^k &=12-24+48-96+\cdots+3(-2)^n\\ &=12(1-2+4+\cdots+(-2)^{n-2})\\ &=\left[\,\text{geometrisk summa med kvot }-2\,\right]\\ &=12\frac{1-(-2)^{n-1}}{1-(-2)} =4-(-2)^{n+1}. \end{aligned} $$

(b) i. $4\binom{13}{5}$, välj en av $4$ färger, sedan $5$ kort av den färgen.

ii. $\binom{13}{3}\binom43\binom{12}{2}\binom42$, välj först trisskort, sedan paret.

iii. $\binom{13}{3}\binom43\binom{12}{2}\cdot4\cdot4$, efter trisskort är valda väljer vi $2$ ytterligare valörer, och slutligen färgerna på de udda korten.