Hela algebra · 2018-12-05
Polynomet $p(z) = z^{4} + 2z^{3} + 5z^{2} + 4z + 6$ har ett rent imaginärt nollställe $z = bi$, $b \in \mathbb{R}$. Bestäm alla komplexa lösningar till $p(z) = 0$.
Rita hyperbeln $y^{2} - 2y - 4x^{2} + 8x + 1 = 0$ samt ange dess asymptoter.
(a) Vi får
$$
p(bi)=(b^4-5b^2+6)+(-2b^3+4b)i,
$$
så eftersom $b$ är reellt är $p(bi)=0$ om och endast om
$$
b^4-5b^2+6=(b^2-2)(b^2-3)=0,\qquad -2b^3+4b=-2b(b^2-2)=0.
$$
De gemensamma lösningarna uppfyller $b^2-2=0$, så $b=\pm\sqrt2$. Därmed är $p(z)$ delbar med $z^2+2$, enligt faktorsatsen, och polynomdivision ger
$$p(z)=(z^2+2)(z^2+2z+3).$$
Kvadratkomplettering ger $z^2+2z+3=0\Longleftrightarrow(z+1)^2=-2$. Sammanfattningsvis får vi de $4$ lösningarna
$$z_{1,2}=\pm\sqrt2\,i\qquad\text{och}\qquad z_{3,4}=-1\pm\sqrt2\,i.$$
(b) Kvadratkomplettering ger den ekvivalenta ekvationen
$$4(x-1)^2-(y-1)^2=4.$$
Från denna form ser vi enkelt $2$ punkter $(x,y)=(1\pm1,1)$, och att asymptoterna ges av
$$y-1=\pm2(x-1),$$
dvs. $y=2x-1$ respektive $y=-2x+3$. Vi skissar grafen.