Tenta 2018-12-05

(a) Vi börjar med Euklides algoritm:
$$ \begin{aligned} 123&=1\cdot100+23,\\ 100&=4\cdot23+8,\\ 23&=2\cdot8+7,\\ 8&=1\cdot7+1. \end{aligned} $$
så $\operatorname{SGD}(123,100)=1$ och vi kan lösa hjälpekvationen $100x+123y=1$ genom att köra Euklides algoritm baklänges:
$$1=8-1\cdot7=8-1\cdot(23-2\cdot8)=3\cdot8-1\cdot23 =3\cdot(100-4\cdot23)-1\cdot23=3\cdot100-13\cdot23 =3\cdot100-13\cdot(123-1\cdot100)=16\cdot100-13\cdot123.$$
Vi får att $(x,y)=(16,-13)$ är en partikulärlösning till hjälpekvationen. Multipliceras denna med $5$ fås en partikulärlösning till vår ekvation, så den allmänna lösningen ges därmed av
$$ \begin{cases} x=80+123k,\\ y=-65-100k \end{cases} \qquad k\in\mathbb Z. $$

(b) Vi får minsta möjliga positiva $y$ för $k=-1$, vilket ger $(x,y)=(-43,35)$.

(a) Vi får
$$ p(bi)=(b^4-5b^2+6)+(-2b^3+4b)i, $$
så eftersom $b$ är reellt är $p(bi)=0$ om och endast om
$$ b^4-5b^2+6=(b^2-2)(b^2-3)=0,\qquad -2b^3+4b=-2b(b^2-2)=0. $$
De gemensamma lösningarna uppfyller $b^2-2=0$, så $b=\pm\sqrt2$. Därmed är $p(z)$ delbar med $z^2+2$, enligt faktorsatsen, och polynomdivision ger
$$p(z)=(z^2+2)(z^2+2z+3).$$
Kvadratkomplettering ger $z^2+2z+3=0\Longleftrightarrow(z+1)^2=-2$. Sammanfattningsvis får vi de $4$ lösningarna
$$z_{1,2}=\pm\sqrt2\,i\qquad\text{och}\qquad z_{3,4}=-1\pm\sqrt2\,i.$$

(b) Kvadratkomplettering ger den ekvivalenta ekvationen
$$4(x-1)^2-(y-1)^2=4.$$
Från denna form ser vi enkelt $2$ punkter $(x,y)=(1\pm1,1)$, och att asymptoterna ges av
$$y-1=\pm2(x-1),$$
dvs. $y=2x-1$ respektive $y=-2x+3$. Vi skissar grafen.

(a) Vi har $140=4\cdot5\cdot7$, och eftersom dessa faktorer är parvis relativt prima så det räcker att visa att talet är delbart med $5$ och $7$. Fallet $a=4$ är uppenbart. Att $5\mid 2^{2018}-4$ följer av
$$2^{2018}-4=4^{1009}-4\equiv(-1)^{1009}+1=0\pmod 5,$$
och att $7\mid2^{2018}-4$ verifieras av kalkylen
$$2^{2018}-4=2^{3\cdot672+2}-4=2^2 8^{672}-4\equiv4\cdot1^{672}-4=0\pmod 7.$$

(b) Antalet delmängder med $5$ element är $\binom{10}{5}=252$. Antalet sådana med bara jämna tal är $\binom55=1$, så antalet med minst ett udda element är $252-1=251$. Antalet delmängder med exakt ett udda element är $\binom51\binom54=25$, så antalet med minst $2$ udda element är $252-1-25=226$.

(c) Bara $C$ är sann.

(a) Vi bestämmer $A^{-1}$ genom standardmetoden $[A\mid E]\sim\cdots\sim[E\mid A^{-1}]$ och får
$$ X=BA^{-1} = \begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7&3&-3\\ 4&3&-2\\ -2&-1&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&2&-1\\5&2&-2\end{pmatrix}. $$

(b) Låt $A=(2,0,0)$, $B=(0,1,3)$, $C=(3,1,2)$ och $D=(1,-1,0)$. Planet är parallellt med $\overrightarrow{AB}=(-2,1,3)$, och måste vara parallellt med linjen genom $C$ och $D$, så det är även parallellt med vektorn $\overrightarrow{CD}=(-2,-2,-2)$. Därmed är
$$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}=(4,-10,6)$$
en normalvektor. Eftersom planet innehåller punkten $A$ är dess ekvation
$$4(x-2)-10(y-0)+6(z-0)=0,$$
vilket är ekvivalent med $2x-5y+3z=4$.

(a) Med hjälp av en figur ser vi att
$$ \overrightarrow{EC} =\frac34\overrightarrow{DC} =\frac34(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}) =\frac34\left(-\frac23\vec e_1+\vec e_2\right) =-\frac12\vec e_1+\frac34\vec e_2 =\vec f_2. $$

(b) Vi får
$$ \vec f_1=\overrightarrow{EB} =\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CB} =\left(-\frac12\vec e_1+\frac34\vec e_2\right)+(\vec e_1-\vec e_2) =\frac12\vec e_1-\frac14\vec e_2, $$
så
$$ (\vec f_1\ \vec f_2)=(\vec e_1\ \vec e_2) M,\qquad M= \begin{pmatrix} 1/2&-1/2\\ -1/4&3/4 \end{pmatrix}. $$
Vi får att
$$ (\vec e_1\ \vec e_2)=(\vec f_1\ \vec f_2)M^{-1}, \qquad M^{-1}=\begin{pmatrix}3&2\\1&2\end{pmatrix}. $$
Vektorn $\vec e_1=3\vec f_1+\vec f_2$ har alltså koordinaterna $(3,1)$ i basen $(\vec f_1,\vec f_2).$

(a) Löser vi ekvationssystemet med planets ekvationer får vi att $L_2$ ges av
$$L_2:s(-1,-2,1),\qquad s\in\mathbb R.$$
Alltså är $\vec v_1=(3,2,1)$ en riktningsvektor för $L_1$ och $\vec v_2=(-1,-2,1)$ en riktningsvektor för $L_2$. Dessa är inte parallella, så linjerna är skärande eller skeva. Letar vi efter skärningspunkter genom att lösa
$$(4,0,4)+t(3,2,1)=s(-1,-2,1)$$
får vi $s=2$, $t=-2$, så linjerna skär varandra i punkten $(-2,-4,2)$.

(b) Speglingen av en vektor $\vec u=(x,y,z)$ i linjen $L_2$ ges av
$$ S(\vec u)=2\operatorname{Proj}_{\vec v_2}(\vec u)-\vec u =2\frac{\vec u\cdot\vec v_2}{|\vec v_2|^2}\vec v_2-\vec u =2\frac{-x-2y+z}{6}(-1,-2,1)-(x,y,z) $$
och därmed
$$ S(\vec u)=\frac13(-2x+2y-z,\;2x+y-2z,\;-x-2y-2z), $$
så matrisen är
$$ A=\frac13 \begin{pmatrix} -2&2&-1\\ 2&1&-2\\ -1&-2&-2 \end{pmatrix}. $$

(c) Beräkningen
$$ \frac13 \begin{pmatrix} -2&2&-1\\ 2&1&-2\\ -1&-2&-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}4+3t\\2t\\4+t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4-t\\2t\\-4-3t\end{pmatrix} $$
ger att $S(L_1)$ är linjen
$$(x,y,z)=(-4,0,-4)+t(-1,2,-3),\qquad t\in\mathbb R.$$