Hela algebra · 2018-12-05

Uppgift 5

Uppgift 5

I en given triangel $\triangle ABC$, låt $D$ vara punkten på sidan $AB$ med $\lvert\overrightarrow{AD}\rvert = 2\lvert\overrightarrow{DB}\rvert$ och låt $E$ vara punkten på sträckan $DC$ med $\lvert\overrightarrow{CE}\rvert = 3\lvert\overrightarrow{ED}\rvert$. Betrakta basen $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2) = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ för planet.

(a)

Skriv vektorn $\overrightarrow{EC}$ som en linjärkombination av $\mathbf{e}_1$ och $\mathbf{e}_2$.

(b)

Bestäm koordinaterna för $\mathbf{e}_1$ i basen $(\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2) = (\overrightarrow{EB}, \overrightarrow{EC})$.

Visa lösningDölj lösning

(a) Med hjälp av en figur ser vi att
$$ \overrightarrow{EC} =\frac34\overrightarrow{DC} =\frac34(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}) =\frac34\left(-\frac23\vec e_1+\vec e_2\right) =-\frac12\vec e_1+\frac34\vec e_2 =\vec f_2. $$

(b) Vi får
$$ \vec f_1=\overrightarrow{EB} =\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{CB} =\left(-\frac12\vec e_1+\frac34\vec e_2\right)+(\vec e_1-\vec e_2) =\frac12\vec e_1-\frac14\vec e_2, $$
så
$$ (\vec f_1\ \vec f_2)=(\vec e_1\ \vec e_2) M,\qquad M= \begin{pmatrix} 1/2&-1/2\\ -1/4&3/4 \end{pmatrix}. $$
Vi får att
$$ (\vec e_1\ \vec e_2)=(\vec f_1\ \vec f_2)M^{-1}, \qquad M^{-1}=\begin{pmatrix}3&2\\1&2\end{pmatrix}. $$
Vektorn $\vec e_1=3\vec f_1+\vec f_2$ har alltså koordinaterna $(3,1)$ i basen $(\vec f_1,\vec f_2).$