Hela algebra · 2018-12-05

Uppgift 3

Uppgift 3

(a)

Visa att $2^{2018} - 4$ är jämnt delbart med $140$.

(b)

Låt $M = \{1, 2, 3, \dots, 10\}$. Hur många delmängder av $M$ med $5$ element finns det som innehåller minst ett udda tal? Minst två udda tal? Svaren skall anges uträknade.

(c)

Vilka utsagor om reella tal $x$ är sanna? Svar räcker, men måste vara helt korrekt för poäng.

$$\text{A}: \exists x: x^{4} + x^{2} + 1 = 0$$

$$\text{B}: \forall x: x^{2} \ge x$$

$$\text{C}: x > 1 \Rightarrow x \ge 1$$

$$\text{D}: x < 2 \Rightarrow x^{2} < 4.$$

Visa lösningDölj lösning

(a) Vi har $140=4\cdot5\cdot7$, och eftersom dessa faktorer är parvis relativt prima så det räcker att visa att talet är delbart med $5$ och $7$. Fallet $a=4$ är uppenbart. Att $5\mid 2^{2018}-4$ följer av
$$2^{2018}-4=4^{1009}-4\equiv(-1)^{1009}+1=0\pmod 5,$$
och att $7\mid2^{2018}-4$ verifieras av kalkylen
$$2^{2018}-4=2^{3\cdot672+2}-4=2^2 8^{672}-4\equiv4\cdot1^{672}-4=0\pmod 7.$$

(b) Antalet delmängder med $5$ element är $\binom{10}{5}=252$. Antalet sådana med bara jämna tal är $\binom55=1$, så antalet med minst ett udda element är $252-1=251$. Antalet delmängder med exakt ett udda element är $\binom51\binom54=25$, så antalet med minst $2$ udda element är $252-1-25=226$.