Hela algebra · 2018-12-05
Betrakta linjerna $L_1$ och $L_2$, där
$$L_1 : (x, y, z) = (4, 0, 4) + t(3, 2, 1)$$
för $t \in \mathbb{R}$, och $L_2$ är skärningslinjen för planen $x - y - z = 0$ och $x + z = 0$.
Avgör hur linjerna ligger i förhållande till varandra, om de är parallella, sammanfallande, skärande eller skeva.
Bestäm matrisen $A$ (i standardbasen) för speglingen $S$ i linjen $L_2$.
Använd $A$ för att bestämma linjen $S(L_1)$.
(a) Löser vi ekvationssystemet med planets ekvationer får vi att $L_2$ ges av
$$L_2:s(-1,-2,1),\qquad s\in\mathbb R.$$
Alltså är $\vec v_1=(3,2,1)$ en riktningsvektor för $L_1$ och $\vec v_2=(-1,-2,1)$ en riktningsvektor för $L_2$. Dessa är inte parallella, så linjerna är skärande eller skeva. Letar vi efter skärningspunkter genom att lösa
$$(4,0,4)+t(3,2,1)=s(-1,-2,1)$$
får vi $s=2$, $t=-2$, så linjerna skär varandra i punkten $(-2,-4,2)$.
(b) Speglingen av en vektor $\vec u=(x,y,z)$ i linjen $L_2$ ges av
$$
S(\vec u)=2\operatorname{Proj}_{\vec v_2}(\vec u)-\vec u
=2\frac{\vec u\cdot\vec v_2}{|\vec v_2|^2}\vec v_2-\vec u
=2\frac{-x-2y+z}{6}(-1,-2,1)-(x,y,z)
$$
och därmed
$$
S(\vec u)=\frac13(-2x+2y-z,\;2x+y-2z,\;-x-2y-2z),
$$
så matrisen är
$$
A=\frac13
\begin{pmatrix}
-2&2&-1\\
2&1&-2\\
-1&-2&-2
\end{pmatrix}.
$$
(c) Beräkningen
$$
\frac13
\begin{pmatrix}
-2&2&-1\\
2&1&-2\\
-1&-2&-2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}4+3t\\2t\\4+t\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}-4-t\\2t\\-4-3t\end{pmatrix}
$$
ger att $S(L_1)$ är linjen
$$(x,y,z)=(-4,0,-4)+t(-1,2,-3),\qquad t\in\mathbb R.$$