Hela algebra · 2018-12-05
Om
$$A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 9\end{pmatrix} \quad \text{och} \quad B = \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix},$$
lös ekvationen $XA = B$.
Bestäm ekvationen för planet som går genom punkterna $(2, 0, 0)$ och $(0, 1, 3)$, men som inte skär linjen genom punkterna $(3, 1, 2)$ och $(1, -1, 0)$.
(a) Vi bestämmer $A^{-1}$ genom standardmetoden $[A\mid E]\sim\cdots\sim[E\mid A^{-1}]$ och får
$$
X=BA^{-1}
=
\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
7&3&-3\\
4&3&-2\\
-2&-1&1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}2&2&-1\\5&2&-2\end{pmatrix}.
$$
(b) Låt $A=(2,0,0)$, $B=(0,1,3)$, $C=(3,1,2)$ och $D=(1,-1,0)$. Planet är parallellt med $\overrightarrow{AB}=(-2,1,3)$, och måste vara parallellt med linjen genom $C$ och $D$, så det är även parallellt med vektorn $\overrightarrow{CD}=(-2,-2,-2)$. Därmed är
$$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{CD}=(4,-10,6)$$
en normalvektor. Eftersom planet innehåller punkten $A$ är dess ekvation
$$4(x-2)-10(y-0)+6(z-0)=0,$$
vilket är ekvivalent med $2x-5y+3z=4$.