Hela algebra · 2019-01-17
Låt $A = \{1, 2, 3, 5\}$, $B = \{2, 3, 5, 6\}$ och $C = \{3, 4, 5, 6\}$. Rita ett Venndiagram för mängderna, där elementen är korrekt utplacerade. Avgör, med tydlig motivering, om följande implikation är sann:
$$(x \in A \land x \in C) \Rightarrow x \in B.$$
Bestäm alla lösningar $x \in \mathbb{Z}$ till kongruensen $7x \equiv 1 \pmod{2019}$. Tips: Formulera om problemet som en diofantisk ekvation.
(a) Implikationen är ekvivalent med att $A\cap C\subseteq B$, vilket är sant eftersom $A\cap C=\{3,5\}$.
(b) Kongruensen är ekvivalent med att lösa den diofantiska ekvationen $7x-2019y=1$. Vi börjar med Euklides algoritm:
$$2019=288\cdot7+3,\qquad 7=2\cdot3+1.$$
Så $\operatorname{SGD}(2019,7)=1$ och vi kan lösa ekvationen genom att köra Euklides algoritm baklänges:
$$1=7-2\cdot3=7-2\cdot(2019-288\cdot7)=577\cdot7-2\cdot2019.$$
Vi får att $(x,y)=(577,2)$ är en partikulärlösning, så den allmänna lösningen ges därmed av
$$x=577+2019k,\qquad y=2+7k,\qquad k\in\mathbb Z.$$
Svar: Alla heltal $x$ med $x\equiv577\pmod {2019}$.