MM2001 · Hela algebra
Låt $A = \{1, 2, 3, 5\}$, $B = \{2, 3, 5, 6\}$ och $C = \{3, 4, 5, 6\}$. Rita ett Venndiagram för mängderna, där elementen är korrekt utplacerade. Avgör, med tydlig motivering, om följande implikation är sann:
$$(x \in A \land x \in C) \Rightarrow x \in B.$$
Bestäm alla lösningar $x \in \mathbb{Z}$ till kongruensen $7x \equiv 1 \pmod{2019}$. Tips: Formulera om problemet som en diofantisk ekvation.
(a) Implikationen är ekvivalent med att $A\cap C\subseteq B$, vilket är sant eftersom $A\cap C=\{3,5\}$.
(b) Kongruensen är ekvivalent med att lösa den diofantiska ekvationen $7x-2019y=1$. Vi börjar med Euklides algoritm:
$$2019=288\cdot7+3,\qquad 7=2\cdot3+1.$$
Så $\operatorname{SGD}(2019,7)=1$ och vi kan lösa ekvationen genom att köra Euklides algoritm baklänges:
$$1=7-2\cdot3=7-2\cdot(2019-288\cdot7)=577\cdot7-2\cdot2019.$$
Vi får att $(x,y)=(577,2)$ är en partikulärlösning, så den allmänna lösningen ges därmed av
$$x=577+2019k,\qquad y=2+7k,\qquad k\in\mathbb Z.$$
Svar: Alla heltal $x$ med $x\equiv577\pmod {2019}$.
Vilken restterm ger talet $33^{91} + 91^{33}$ vid division med $17$?
Vilken rest fås om polynomet $x^{2019} + 1$ delas med $x^{2} + 4$?
(a) Moduliräkning ger
$$33^{91}+91^{33}\equiv(-1)^{91}+(91^{16})^2\,91\equiv-1+1^2\,91\equiv-1+6=5\pmod {17},$$
där vi använt Fermats lilla sats som ger att $a^{16}\equiv1\pmod {17}$ om $17\nmid a$. Den sökta resttermen är alltså $5$.
(b) Divisionsalgoritmen ger att
$$x^{2019}+1=k(x)(x^2+4)+ax+b,$$
för något polynom $k(x)$ och $a,b\in\mathbb R$. Sätter vi nu $x=2i$ får vi
$$-2^{2019}i+1=2ai+b,$$
så $a=-2^{2018}$ och $b=1$. Resten är därmed
$$-2^{2018}x+1.$$
En standardkortlek innehåller $52$ kort i fyra olika färger, och $13$ valörer per färg. En pokerhand innehåller $5$ kort.
i. Hur många pokerhänder har fyrtal, dvs fyra kort av samma valör?
ii. Hur många pokerhänder har par, dvs två kort av en valör och tre kort av tre andra valörer?
iii. Hur många har tvåpar, dvs precis två kort vardera av två valörer och ett femte kort med en annan valör?
Svaren får innehålla binomialkoefficienter.
Vilken eller vilka av följande utsagor är ekvivalenta med $P \Rightarrow \neg Q$?
$$\text{A}: P \land Q$$
$$\text{B}: Q \Rightarrow \neg P$$
$$\text{C}: (\neg Q) \Rightarrow P$$
$$\text{D}: \neg P \lor \neg Q$$
Svaret skall vara tydligt motiverat, t.ex. genom att ange sanningstabellerna för utsagorna.
(a) i. $13\cdot48$. Välj en valör för de $4$ korten i fyrtalet, och sedan ytterligare ett kort.
ii. $13\binom42\binom{12}{3}4^3$. Välj först parets valör, sedan parets $2$ kort, sedan $3$ andra valörer och slutligen vilket av de $4$ korten av respektive valör som väljs.
iii. $\binom{13}{2}\binom42^2\,4^4$. Vi väljer valörerna för de två paren, sedan $2$ kort av vardera valör, och sist det udda kortet.
(b) Sanningstabellen visar att utsagan är ekvivalent med $B$ och med $D$.
Betrakta de fyra punkterna
$$A = (3, 4, 5), \quad B = (6, 2, 7), \quad C = (4, 3, 8), \quad D = (1, 5, 6).$$
Visa att fyrhörningen $ABCD$ är en parallellogram, bestäm dess area, samt ekvationen för planet fyrhörningen ligger i.
Det finns precis en punkt $P$ i $xy$-planet vars ortogonala projektion på fyrhörningens plan är $A$. Bestäm punkten $P$.
(a) Med $\overrightarrow{AB}=(3,-2,2)$, $\overrightarrow{AC}=(1,-1,3)$ och $\overrightarrow{AD}=(-2,1,1)$ har vi att
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD},$$
vilket visar att $ABCD$ är ett parallellogram. Arean ges av $|\vec n|$, där
$$
\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
=\begin{vmatrix}\vec e_1&\vec e_2&\vec e_3\\3&-2&2\\-2&1&1\end{vmatrix}
=-4\vec e_1-7\vec e_2-\vec e_3=(-4,-7,-1).
$$
Därmed är arean
$$\sqrt{4^2+7^2+1^2}=\sqrt{66}.$$
Vi har att $\vec n$ är planets normal, så ekvationen är
$$-4(x-3)-7(y-4)-(z-5)=0,$$
vilket är ekvivalent med $4x+7y+z=45$.
(b) De punkter som projiceras ortogonalt på $A$ ligger på normallinjen genom $A$. Den kan vi parametrisera genom
$$(x,y,z)=(3,4,5)+t(4,7,1).$$
Skärningen med $xy$-planet fås genom att $0=z=5+t$, vilket ger $t=-5$. Detta ger $P=(-17,-31,0)$.
Betrakta vektorerna $\mathbf{f}_1 = (0, 1, a)$, $\mathbf{f}_2 = \left(\frac{3}{5}, 0, \frac{4}{5}\right)$ och $\mathbf{f}_3 = \left(b, c, \frac{3}{5}\right)$, där $a, b, c \in \mathbb{R}$.
När bildar $(\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \mathbf{f}_3)$ en bas för rummet?
Bestäm (alla möjliga) $a$, $b$, $c$ så att $(\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \mathbf{f}_3)$ bildar en ON-bas. Ordna vektorerna så att basen dessutom blir positivt orienterad.
(a) Låt $M$ vara matrisen med vektorernas koordinater som kolonner. Vi får
$$
\det(M)=
\begin{vmatrix}0&3/5&b\\1&0&c\\a&4/5&3/5\end{vmatrix}
=\frac1{25}(15ac+20b-9).
$$
Vektorerna bildar en bas när $\det(M)\neq0$, dvs. då $15ac+20b-9\neq0$.
(b) Vi behöver $0=\vec f_1\cdot\vec f_2=\frac45a$, så $a=0$. Då får vi $0=\vec f_1\cdot\vec f_3=c$, så även $c=0$, och då blir $0=\vec f_2\cdot\vec f_3=\frac35(b+\frac45)$, så $b=-\frac45$. Därmed har vi att
$$\vec f_1=(0,1,0),\qquad \vec f_2=(3/5,0,4/5),\qquad \vec f_3=(-4/5,0,3/5),$$
och man verifierar att $|\vec f_i|=1$ för $i=1,2,3$, så basen är en ON-bas.
[Alternativt kan man ställa upp matrisekvationen $M^TM=E$ och lösa motsvarande ekvationer.]
Med dessa värden på $a,b,c$ får vi $\det(M)=-1$, så basen är negativt orienterad. Byter vi plats på två vektorer får vi en positivt orienterad bas, exempelvis kan vi ta basen $(\vec f_2,\vec f_1,\vec f_3).$
Låt $T$ vara den linjära avbildningen som ges av att först spegla i planet $x - z = 0$, sedan rotera $90^\circ$ moturs kring $x$-axeln (sett från spetsen av $\mathbf{e}_1$), och slutligen spegla igen i planet $x - z = 0$.
Bestäm matrisen för $T$ i standardbasen.
Ge en sammanfattande geometrisk tolkning av $T$ och använd denna för att bestämma matrisen för den linjära avbildning som fås om avbildningen $T$ upprepas $50$ gånger.
(a) Speglingen uppfyller
$$S(\vec e_1)=\vec e_3,\qquad S(\vec e_2)=\vec e_2,\qquad S(\vec e_3)=\vec e_1,$$
så $S$ har matrisen
$$S=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}.$$
Rotationen har matris
$$R=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(\pi/2)&-\sin(\pi/2)\\0&\sin(\pi/2)&\cos(\pi/2)\end{pmatrix},$$
så $T$ har matrisen
$$
T=SRS=
\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.
$$
(b) Vi ser att
$$T=\begin{pmatrix}\cos(-\pi/2)&-\sin(-\pi/2)&0\\\sin(-\pi/2)&\cos(-\pi/2)&0\\0&0&1\end{pmatrix},$$
så $T$ innebär en vridning $90^\circ$ medurs kring $z$-axeln. Fyra vridningar ger därmed identitetsavbildningen, så vi får
$$T^{50}=(T^4)^{12}T^2=E^{12}T^2=T^2
=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix},$$
vilket motsvarar vridning $180^\circ$ runt $z$-axeln.