Hela algebra · 2019-01-17
Betrakta de fyra punkterna
$$A = (3, 4, 5), \quad B = (6, 2, 7), \quad C = (4, 3, 8), \quad D = (1, 5, 6).$$
Visa att fyrhörningen $ABCD$ är en parallellogram, bestäm dess area, samt ekvationen för planet fyrhörningen ligger i.
Det finns precis en punkt $P$ i $xy$-planet vars ortogonala projektion på fyrhörningens plan är $A$. Bestäm punkten $P$.
(a) Med $\overrightarrow{AB}=(3,-2,2)$, $\overrightarrow{AC}=(1,-1,3)$ och $\overrightarrow{AD}=(-2,1,1)$ har vi att
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD},$$
vilket visar att $ABCD$ är ett parallellogram. Arean ges av $|\vec n|$, där
$$
\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
=\begin{vmatrix}\vec e_1&\vec e_2&\vec e_3\\3&-2&2\\-2&1&1\end{vmatrix}
=-4\vec e_1-7\vec e_2-\vec e_3=(-4,-7,-1).
$$
Därmed är arean
$$\sqrt{4^2+7^2+1^2}=\sqrt{66}.$$
Vi har att $\vec n$ är planets normal, så ekvationen är
$$-4(x-3)-7(y-4)-(z-5)=0,$$
vilket är ekvivalent med $4x+7y+z=45$.
(b) De punkter som projiceras ortogonalt på $A$ ligger på normallinjen genom $A$. Den kan vi parametrisera genom
$$(x,y,z)=(3,4,5)+t(4,7,1).$$
Skärningen med $xy$-planet fås genom att $0=z=5+t$, vilket ger $t=-5$. Detta ger $P=(-17,-31,0)$.