Hela algebra · 2019-01-17
Betrakta vektorerna $\mathbf{f}_1 = (0, 1, a)$, $\mathbf{f}_2 = \left(\frac{3}{5}, 0, \frac{4}{5}\right)$ och $\mathbf{f}_3 = \left(b, c, \frac{3}{5}\right)$, där $a, b, c \in \mathbb{R}$.
När bildar $(\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \mathbf{f}_3)$ en bas för rummet?
Bestäm (alla möjliga) $a$, $b$, $c$ så att $(\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \mathbf{f}_3)$ bildar en ON-bas. Ordna vektorerna så att basen dessutom blir positivt orienterad.
(a) Låt $M$ vara matrisen med vektorernas koordinater som kolonner. Vi får
$$
\det(M)=
\begin{vmatrix}0&3/5&b\\1&0&c\\a&4/5&3/5\end{vmatrix}
=\frac1{25}(15ac+20b-9).
$$
Vektorerna bildar en bas när $\det(M)\neq0$, dvs. då $15ac+20b-9\neq0$.
(b) Vi behöver $0=\vec f_1\cdot\vec f_2=\frac45a$, så $a=0$. Då får vi $0=\vec f_1\cdot\vec f_3=c$, så även $c=0$, och då blir $0=\vec f_2\cdot\vec f_3=\frac35(b+\frac45)$, så $b=-\frac45$. Därmed har vi att
$$\vec f_1=(0,1,0),\qquad \vec f_2=(3/5,0,4/5),\qquad \vec f_3=(-4/5,0,3/5),$$
och man verifierar att $|\vec f_i|=1$ för $i=1,2,3$, så basen är en ON-bas.
[Alternativt kan man ställa upp matrisekvationen $M^TM=E$ och lösa motsvarande ekvationer.]
Med dessa värden på $a,b,c$ får vi $\det(M)=-1$, så basen är negativt orienterad. Byter vi plats på två vektorer får vi en positivt orienterad bas, exempelvis kan vi ta basen $(\vec f_2,\vec f_1,\vec f_3).$