Hela algebra · 2019-01-17
Låt $T$ vara den linjära avbildningen som ges av att först spegla i planet $x - z = 0$, sedan rotera $90^\circ$ moturs kring $x$-axeln (sett från spetsen av $\mathbf{e}_1$), och slutligen spegla igen i planet $x - z = 0$.
Bestäm matrisen för $T$ i standardbasen.
Ge en sammanfattande geometrisk tolkning av $T$ och använd denna för att bestämma matrisen för den linjära avbildning som fås om avbildningen $T$ upprepas $50$ gånger.
(a) Speglingen uppfyller
$$S(\vec e_1)=\vec e_3,\qquad S(\vec e_2)=\vec e_2,\qquad S(\vec e_3)=\vec e_1,$$
så $S$ har matrisen
$$S=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}.$$
Rotationen har matris
$$R=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(\pi/2)&-\sin(\pi/2)\\0&\sin(\pi/2)&\cos(\pi/2)\end{pmatrix},$$
så $T$ har matrisen
$$
T=SRS=
\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.
$$
(b) Vi ser att
$$T=\begin{pmatrix}\cos(-\pi/2)&-\sin(-\pi/2)&0\\\sin(-\pi/2)&\cos(-\pi/2)&0\\0&0&1\end{pmatrix},$$
så $T$ innebär en vridning $90^\circ$ medurs kring $z$-axeln. Fyra vridningar ger därmed identitetsavbildningen, så vi får
$$T^{50}=(T^4)^{12}T^2=E^{12}T^2=T^2
=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix},$$
vilket motsvarar vridning $180^\circ$ runt $z$-axeln.