Uppgift 2

(a) Moduliräkning ger
$$33^{91}+91^{33}\equiv(-1)^{91}+(91^{16})^2\,91\equiv-1+1^2\,91\equiv-1+6=5\pmod {17},$$
där vi använt Fermats lilla sats som ger att $a^{16}\equiv1\pmod {17}$ om $17\nmid a$. Den sökta resttermen är alltså $5$.

(b) Divisionsalgoritmen ger att
$$x^{2019}+1=k(x)(x^2+4)+ax+b,$$
för något polynom $k(x)$ och $a,b\in\mathbb R$. Sätter vi nu $x=2i$ får vi
$$-2^{2019}i+1=2ai+b,$$
så $a=-2^{2018}$ och $b=1$. Resten är därmed
$$-2^{2018}x+1.$$