Uppgift 1

Vi behöver att $100x-3=43y$ för heltal $y$, så vi vill lösa den diofantiska ekvationen $100x-43y=3$. Vi börjar med Euklides algoritm:
$$100=2\cdot43+14,\qquad43=3\cdot14+1.$$
Så $\operatorname{SGD}(100,43)=1$ och vi kan lösa hjälpekvationen $100x-43y=1$ genom att köra Euklides algoritm baklänges:
$$1=43-3\cdot14=43-3(100-2\cdot43)=7\cdot43-3\cdot100.$$
Vi får att $(x,y)=(-3,-7)$ är en partikulärlösning till hjälpekvationen. Multipliceras denna med $3$ fås en partikulärlösning till vår ekvation, så den allmänna lösningen ges därmed av
$$x=-9+43k,\qquad y=-21+100k,\qquad k\in\mathbb Z.$$
Villkoret $100<x<200$ ger att $3\leq k\leq4$, vilket ger lösningarna $x=120$ och $x=163$.