Tenta 2019-05-08

Vi behöver att $100x-3=43y$ för heltal $y$, så vi vill lösa den diofantiska ekvationen $100x-43y=3$. Vi börjar med Euklides algoritm:
$$100=2\cdot43+14,\qquad43=3\cdot14+1.$$
Så $\operatorname{SGD}(100,43)=1$ och vi kan lösa hjälpekvationen $100x-43y=1$ genom att köra Euklides algoritm baklänges:
$$1=43-3\cdot14=43-3(100-2\cdot43)=7\cdot43-3\cdot100.$$
Vi får att $(x,y)=(-3,-7)$ är en partikulärlösning till hjälpekvationen. Multipliceras denna med $3$ fås en partikulärlösning till vår ekvation, så den allmänna lösningen ges därmed av
$$x=-9+43k,\qquad y=-21+100k,\qquad k\in\mathbb Z.$$
Villkoret $100<x<200$ ger att $3\leq k\leq4$, vilket ger lösningarna $x=120$ och $x=163$.

(a) Eftersom $p(z)$ har reella koefficienter, kommer även konjugatet $z=1-i$ att vara ett nollställe, så
$$(z-(1+i))(z-(1-i))=z^2-2z+2$$
är en faktor i $p(z)$. Polynomdivision ger
$$p(z)=(z^2-2z+2)(z^3+1).$$
Vi vill därför lösa $z^3+1=0$. Uppenbarligen är $z=-1$ en lösning, vilket ger
$$z^3+1=(z+1)(z^2-z+1).$$
Löser man $z^2-z+1=0$, t.ex. genom kvadratkomplettering, fås de två sista lösningarna. Svar:
$$z_1=-1,\qquad z_{2,3}=\frac{1\pm i\sqrt3}{2},\qquad z_{4,5}=1\pm i.$$

(b) Från (a) har vi
$$p(z)=(z+1)(z^2-z+1)(z^2-2z+2),$$
där de två andragradsfaktorerna är irreducibla över $\mathbb R$ eftersom de har komplexa rötter.

(a) Eftersom primtalsfaktoriseringen av $39$ är $3\cdot13$, räcker det att visa att talet är delbart med $3$ och $13$. Moduliräkning ger att
$$5^{2019}-8\equiv(-1)^{2019}-8=-1-8\equiv0\pmod3,$$
och eftersom Fermats lilla sats ger att $5^{12}\equiv1\pmod {13}$ så får vi
$$5^{2019}-8=5^{12\cdot168+3}-8\equiv1^{168}5^3-8=125-8\equiv0\pmod {13},$$
vilket därmed visar påståendet.

(b) Kvadratkomplettering ger den ekvivalenta ekvationen
$$(x-1)^2-4(y+1)^2=1.$$
Från denna form ser vi enkelt $2$ punkter $(x,y)=(1\pm1,-1)$, och att asymptoterna ges av
$$2(y+1)=\pm(x-1),$$
dvs. $y=(x-3)/2$ respektive $y=-(x+1)/2$. Vi skissar grafen.

(a) $XA+3A=2E\Longleftrightarrow X=(2E-3A)A^{-1}$. Med standardmetoden beräknas
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix},$$
och vi får
$$X=\begin{pmatrix}-1&-3\\-3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3&2\\2&-5\end{pmatrix}.$$

(b) i. Eftersom det finns $5$ udda tal men bara $4$ jämna, så måste följden av udda (U) och jämna (J) tal vara UJUJUJUJU. De $5$ udda talen kan ordnas på $5!$ sätt, de jämna på $4!$ sätt. Antalet ordningsföljder är därmed
$$5!\cdot4!=120\cdot24=2880.$$

ii. Antalet delmängder med $4$ element är $\binom94$. Av dessa är $\binom54$ med bara udda element, och $\binom44$ med bara jämna element förbjudna. Vi får alltså
$$\binom94-\binom54-\binom44=126-5-1=120$$
tillåtna delmängder.

(a) Löser vi ekvationssystemet med planets ekvationer får vi att $L_2$ ges av
$$(x,y,z)=(1,2,0)+s(2,-1,1),\qquad s\in\mathbb R.$$
Alltså är $\vec v_1=(1,2,1)$ en riktningsvektor för $L_1$ och $\vec v_2=(2,-1,1)$ en riktningsvektor för $L_2$. Dessa är inte parallella, så linjerna är skärande eller skeva. Letar vi efter skärningspunkter genom att lösa
$$(0,5,0)+t(1,2,1)=(1,2,0)+s(2,-1,1)$$
får vi $t=s=-1$, så linjerna skär varandra i punkten $(-1,3,-1)$.

(b) Planet $\Pi$ är parallellt med $\vec e_3$ och $\vec v_1$, så en normalvektor $\vec n$ fås av
$$ \vec n=\vec e_3\times\vec v_1= \begin{vmatrix}\vec e_1&\vec e_2&\vec e_3\\0&1&1\\1&2&1\end{vmatrix} =-2\vec e_1+\vec e_2=(-2,1,0). $$
Planet $\Pi$ har därför ekvationen $-2(x-0)+(y-0)+0(z-0)=0$, dvs. $2x-y=0$.

(c) Projektionen på $\Pi$ av punkten $P=(0,5,0)\in L_1$ är en punkt $Q$ som ges av
$$ \overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}-\operatorname{Proj}_{\vec n}(\overrightarrow{OP}) =\overrightarrow{OP}-\frac{\overrightarrow{OP}\cdot\vec n}{|\vec n|^2}\vec n =(0,5,0)-\frac55(-2,1,0)=(2,4,0). $$
Projektionen av $L_1$ är därmed $$(x,y,z)=(2,4,0)+t(1,2,1).$$

Basbytesmatrisen
$$Q=\frac1{\sqrt5}\begin{pmatrix}2&1&0\\0&0&\sqrt5\\1&-2&0\end{pmatrix}$$
är ortogonal, ty
$$ Q^TQ=\frac15\begin{pmatrix}2&0&1\\1&0&-2\\0&\sqrt5&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&1&0\\0&0&\sqrt5\\1&-2&0\end{pmatrix} =E. $$
Vidare är $\det(Q)=1>0$, så basen är positivt orienterad. Avbildningsmatrisen i den nya basen är
$$A'=Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
Avbildningen är därmed projektion på ett plan med normalvektor $\vec e'_1$, dvs. projektion på planet $2x+z=0$.