Uppgift 3

(a) Eftersom primtalsfaktoriseringen av $39$ är $3\cdot13$, räcker det att visa att talet är delbart med $3$ och $13$. Moduliräkning ger att
$$5^{2019}-8\equiv(-1)^{2019}-8=-1-8\equiv0\pmod3,$$
och eftersom Fermats lilla sats ger att $5^{12}\equiv1\pmod {13}$ så får vi
$$5^{2019}-8=5^{12\cdot168+3}-8\equiv1^{168}5^3-8=125-8\equiv0\pmod {13},$$
vilket därmed visar påståendet.

(b) Kvadratkomplettering ger den ekvivalenta ekvationen
$$(x-1)^2-4(y+1)^2=1.$$
Från denna form ser vi enkelt $2$ punkter $(x,y)=(1\pm1,-1)$, och att asymptoterna ges av
$$2(y+1)=\pm(x-1),$$
dvs. $y=(x-3)/2$ respektive $y=-(x+1)/2$. Vi skissar grafen.