Hela algebra · 2019-05-08
Om $A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$, lös matrisekvationen $XA + 3A = 2E$.
Låt $M$ vara mängden $\{1, 2, 3, \dots, 9\}$.
i. På hur många sätt kan elementen i $M$ ordnas i en följd, så att två udda tal inte hamnar bredvid varandra?
ii. Bestäm antalet delmängder $A \subseteq M$ som innehåller precis $4$ element, varav minst ett är jämnt och minst ett är udda.
Svaren skall anges uträknade.
(a) $XA+3A=2E\Longleftrightarrow X=(2E-3A)A^{-1}$. Med standardmetoden beräknas
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix},$$
och vi får
$$X=\begin{pmatrix}-1&-3\\-3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-3&2\\2&-5\end{pmatrix}.$$
(b) i. Eftersom det finns $5$ udda tal men bara $4$ jämna, så måste följden av udda (U) och jämna (J) tal vara UJUJUJUJU. De $5$ udda talen kan ordnas på $5!$ sätt, de jämna på $4!$ sätt. Antalet ordningsföljder är därmed
$$5!\cdot4!=120\cdot24=2880.$$
ii. Antalet delmängder med $4$ element är $\binom94$. Av dessa är $\binom54$ med bara udda element, och $\binom44$ med bara jämna element förbjudna. Vi får alltså
$$\binom94-\binom54-\binom44=126-5-1=120$$
tillåtna delmängder.